高考理科数学复习练习作业29 11页

题组层级快练(二十九)‎ ‎1．下列命题中是真命题的是(　　)‎ ‎①对任意两向量a，b，均有：|a|－|b|<|a|＋|b|；‎ ‎②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；‎ ‎③在△ABC中，＋－＝0；‎ ‎④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；‎ ‎⑤－＝.‎ A．①②③　　　　　　　　 B．②④⑤‎ C．②③④ D．②③‎ 答案　D 解析　①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴①不成立．‎ ‎②真命题．∵(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，∴a－b与b－a是相反向量．‎ ‎③真命题．∵＋－＝－＝0，∴③成立．‎ ‎④假命题．∵＋＝，＋＝，‎ ‎∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0.∴该命题不成立．‎ ‎⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．‎ ‎2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．‎ ‎3．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)‎ A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0‎ 答案　C 解析　由－＝＝－，故C错误．‎ ‎4．(2014·新课标全国Ⅰ，文)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.‎ ‎5．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)‎ A．a＝b B．a＝－b C．|a|＝|b| D．以上都不对 答案　C ‎6．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是(　　)‎ A．e＝ B．a＝|a|e C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e 答案　D 解析　对于A，当a＝0时，没有意义，错误；‎ 对于B，C，D当a＝0时，选项B，C，D都对；‎ 当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.‎ ‎7．(2017·安徽毛坦厂中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　连接AF，AE，由G为EF的中点，得＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋.故选C.‎ ‎8．(2017·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.‎ ‎9．(2014·福建，文)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．‎ 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点．由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.‎ ‎10．已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是(　　)‎ A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1‎ C．mn＝1 D．mn＝－1‎ 答案　C 解析　由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.‎ ‎11．(2017·湖南常德)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数k使得＋＝k成立，则k＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 答案　B 解析　由向量的运算法则可将＋＝k化成－＋－＋k＝0，所以k－2＝1，即k＝3.故选B.‎ ‎12．(2016·北京东城)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，‎ BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是(　　)‎ A．[0，1] B．[0，]‎ C．[0，] D．[，2]‎ 答案　C 解析　如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，∴CF＝1，BF＝.∵AB＝2，∴AF＝.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD＝AF＝＝AB.∵＝＋＝＋μ，∴＝μ.∵∥，＝，∴0≤μ≤.故选C.‎ ‎13．如图所示，下列结论不正确的是________．‎ ‎①＝a＋b； ②＝－a－b；‎ ‎③＝a－b； ④＝a＋b.‎ 答案　②④‎ 解析　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；由＝a－b，从而②错误；＝＋b，故＝a－b，③正确；＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.‎ ‎14．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．‎ 答案　－4‎ 解析　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.‎ ‎15．(2015·新课标全国Ⅱ，理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．‎ 答案　 解析　由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.‎ ‎16.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　＝(＋)＝＋.‎ ‎∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2，故填2.‎ ‎17．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？‎ 答案　当λ＝－2μ时共线 解析　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.‎ 要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc.‎ 即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.‎ 即得λ＝－2μ.‎ 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．‎ ‎1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．‎ 答案　－ 解析　因为a与b共线，所以a＝xb，故λ＝－.‎ ‎2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.‎ ‎3．(2017·河南许昌月考)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　)‎ A．m＋n是定值，定值为2 B．2m＋n是定值，定值为3‎ C.＋是定值，定值为2 D.＋是定值，定值为3‎ 答案　D 解析　过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝.由BD＝DC得＝，所以＝.因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.故选D.‎ ‎4．(2017·山东栖霞高中)如图所示，已知△AOB，点C是点B关于点A的对称点，＝2，DC和OA交于点E，若＝λ，则实数λ的值为________．‎ 答案　 解析　设＝a，＝b.由题意知A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则知＋＝2.∴＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，∥，∴＝，∴λ＝.‎ ‎5．(2017·北京海淀期末)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B．－ C．1 D．－1‎ 答案　A 解析　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，‎ 即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.‎ ‎6．(2017·山东胶州期中)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，对角线AC，DB相交于点O.若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．－－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　B 解析　∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△DOC∽△BOA且AO＝2OC，‎ 则＝2＝，＝，而＝＋＝＋＝a＋b，‎ ‎∴＝＝(a＋b)＝a＋b.‎ ‎7.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________．‎ 答案　b－a 解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎8．(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．‎ 答案　　－ 解析　由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.‎ ‎9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 答案　C 解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.‎ ‎∴∥.又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．‎ ‎10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知的向量关系式2＋＝－，得2＋＝，即＝3，所以点P在AC上，且PC＝3AP，由相似的性质知，△PBC与△ABC在边BC上的高的比为3∶4，则△PBC与△ABC的面积比为3∶4，选A.‎ ‎11．(2017·衡水中学调研卷)在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形 答案　A 解析　如图，由c＋a＋b＝0知，c(－)＋a－b＝(a－c)＋(c－b)‎ ＝0，而与为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c.故选A.‎ ‎12．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 答案　 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.‎ ‎13．设a，b是不共线的两个非零向量，‎ ‎(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，‎ 求证：A，B，C三点共线；‎ ‎(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．‎ 答案　(1)略　(2)±4‎ 解析　(1)∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，‎ ＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，∴与共线，且有公共端点B.‎ ‎∴A，B，C三点共线．‎ ‎(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)．‎ ‎∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.‎ ‎∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.‎ ‎14．如图所示，已知点G是△ABO的重心．‎ ‎(1)求＋＋；‎ ‎(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，‎ 求证：＋＝3.‎ 答案　(1)＋＋＝0　(2)略 解析　(1)如图所示，延长OG交AB于M点，则M是AB的中点．‎ ‎∴＋＝2.‎ ‎∵G是△ABO的重心，∴＝－2.∴＋＋＝0.‎ ‎(2)∵M是AB边的中点，∴＝(＋)＝(a＋b)．‎ 又∵G是△ABO的重心，∴＝＝(a＋b)．‎ ‎∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b.‎ 而＝－＝nb－ma，∵P，G，Q三点共线，‎ ‎∴有且只有一个实数λ，使得＝λ.∴(－m)a＋b＝λnb－λma.‎ ‎∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0.‎ ‎∵a与b不共线，∴消去λ，得＋＝3.‎