河南省开封市2019-2020学年高二下学期期末调研考试数学（理）试题答案 4页

（理）1 开封市 2019—2020 学年度第二学期期末调研考试 高二数学（理科）试题参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B C A C B A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 1=0x y  14. 3 15. 960 16. 2 2 2x y  三、解答题（共 70 分） 17．（12 分） 解：（1）由 cos = cosa C c A可得sin cos sin cosA C C A ，……………2 分 所以  sin 0A C  ，所以 A C ， a c .………4 分 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7cos = = =2 8 8 a c b b b bB ac b     .……………6 分 （2）由已知，可得 =3sin b B ，所以 2 2sin = 3B ，锐角 ABC ，所以 1cos = 3B .………8 分 由余弦定理及 a c ，可得  2 2 2 2= 2 cos =2 1 cosb a c ac B a B   ,所以 2 =6a .…………10 分 所以 21 1sin = sin =2 22 2ABCS ac B a B  .……………12 分 18.（12 分） （1）证明：由题意直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，所以 1AA ABCD 平面 ， AD ABCD 平面 ， 1AD AA所以 .……………2 分 1 1BE AB C D又 平面 ， 1 1AD AB C D 平面 ， AD BE所以 .……………2 分 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的侧面为矩形， 1E AB是 的中点，所以 1 1=BE AA A . 1 1AD ABB A所以 平面 .……………5 分 1 1AB ABB A又 平面 ， AB AD所以 .…………6 分 （2）以 A 为坐标原点， AB  方向为 x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz. 因为 1 1BE AB C D 平面 ， 1 1 1AB AB C D 平面 ， 1BE AB所以 ， 1 1ABB A所以 是正方形， 1= =3AB AA .……………8 分          1 1 3 3 3 33,0,0 , 0,4,0 , ,0, , 0,4,3 , 3,4,0 , ,0, , 0,0,3 ,2 2 2 2B D E D BD BE DD                 （理）2 设平面 BDE 的法向量为  , ,x y zm ， 3 4 00 3 3 00 2 2 x y = ,BD = , x+ z = ,BE = ,          即m m 令 x=1，所以 31, ,14      m ，……………9 分 设平面 BDD1 的法向量为  , ,x y zn ， 1 0 3 4 0 3 00 BD = , x y = , z = ,DD = ,         即n n ， 令 x=1，所以 31, ,04      n ，……………10 分 5 41cos , 41   m nm n m n ，所以二面角 1E BD D  的余弦值为 5 41 41 .……………12 分 19.（12 分） 解：（1）由题意得，圆心 C 到直线 x= -1 的距离与到点 F（1,0）的距离相等， 由抛物线的定义知动圆 C 的圆心所在的轨迹为以 F（1,0）为焦点的抛物线， 所以，所求轨迹方程为 2 4 .y x ………………4 分 （2）由已知，可得 t=1，M(1,-2).………………5 分 = ,AB x my n设直线 的方程为    1 1 2 2, , , ,A x y B x y 2 2 2 = , 4 4 0, 16 16 0, 4 , x my n y my n m n y x          由 得 ………………6 分 1 2 1 2+ =4 , = 4 ,y y m y y n ………………7 分     1 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 14 4 4 164 4 2 2 2 4 AM BM y y y yk k y yx x y y y y y y y y                     16 1 4 ,4 8 4 3 m n m      ………………9 分 2,n m 解得 ………………10 分    +2= 1 , 2 1 .AB x m y   所以直线 的方程为 恒过定点 ， ………………12 分 20.（12 分） 解：（1）记样本中的老年人，中年人，青年人中任取一人，这个人恰好偏胖的事件分别为 A，B， C，则   9 1 27 3P A   ，   15 1 30 2P B   ，   6 2 33 11P C   ，………………2 分 则至少有 1 人偏胖的概率为       2 1 9 81 1 .3 2 11 11P A P B P C      ………………4 分 （2）根据题意， X 可取 0，1，2，3. （理）3 在该社区成年人中，随机取 1 人，偏胖的概率为 9+15+6 1 .27+30+33 3  ………………5 分   3 0 3 2 80 C 3 27P X       ，   2 1 3 1 2 41 3 3 9P X C         ，   2 2 3 1 2 22 3 3 9P X C         ，   3 3 3 1 13 =3 27P X C        ， X 的分布列为：   8 4 2 10 1 2 3 127 9 9 27E X          .……………………8 分 （3）由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比约为 30%，因缺乏体育锻炼导致人偏胖的人 次占比约为 40％，所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，可采取如下 2 种措施：…10 分 ①加强体育锻炼；②改善饮食习惯.（根据数据说明，考生答出合理理由均可得分）…………12 分 21．（12 分） 解：（1） 1a  时， 2( ) e + 1xf x x x   ， ( ) +2 +1 ( )xf x e x f x  ， 在 上单调增，R …………2 分 1( 1) 1 0 (0) 2 0f e f      ， ，   0 0 0 0 0 01 0 ( )= +2 +1=0 = 2 1x xx f x e x e x   所以存在 ， ，使得 ，所以 ，        0 0x x f x x x f x    当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，………………4 分    0f x f x所以 的极小值为 ，    0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0= + + 1= 2 1 + + 1= 2xf x e x x x x x x x      ，      2 2 10 0 2,h x x x h     在区间 ， 上单调递减，且 ( ) 2.f x 所以 的极小值大于 ………6 分 （2） 2 2 +1( ) e + 1=0 =x x x xf x a x x a e     ， ， 令   2 +1 x x xg x e   ，则 2 2( ) x x xg' x e   ．………………8 分 当 1 2x x  ， 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增；当 1 2x   时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减，  1g e  ，   2 52g e   ，………………10 分 又因为   2 2 52g e e      ，  2 0x g x 时， ， 所以 2 2 5| .a a e a a ee          或 ………………12 分 22．（10 分） 解：（1）消参，曲线 C 的普通方程为   2 21 2 5x y    ，……………2 分 将 = cos , sinx y    带入可得，曲线 C 的极坐标方程为 2cos +4sin   ，………4 分 X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 ………7 分 （理）4 直线 l1 的直角坐标方程为 3y x .……………5 分 （2）将 = 3  和 = 6  分别带入圆 C 的极坐标方程 2cos +4sin   中， 可得 1 21+2 3, 2+ 3   ，……………7 分 由题意可知，圆 C 与 l1 和 l2 有共同交点 O， 3 6 6MON       ,……………8 分 所以   1 2 1 1 1 5 3= sin sin 1 2 3 2 3 22 2 6 4 4MONS OM ON MON          .…10 分 23．（10 分） 解：（1）当 =0, 1a b  时，由   +1f x x ，得 2 1 1x   .……………2 分 解得 0 1x  ，所以原不等式的解集为 0 1 .x x  ……………5 分 （2）因为 0, 0,a b  所以   3 , 2 = , 2 3 , 2 x a b x a bf x x a x b x a b a x bx a b x                      ，……………7 分 所以函数  f x 在 , 2 b    上单调递减，在 ,+2 b    上单调递增，……………8 分 所以当 = 2 bx 时，函数  f x 取得最小值为 = =12 2 b bf a     ，所以 2 =2.a b ……………10 分