2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6 9页

- 1 - 第 2 课时　对数函数的图象与性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1．能正确判断图象之间的变换关系．(重点) 2．理解并掌握对数函数的单调性．(重点) 3．会用对数函数的相关性质解综合题．(难点) 通过学习本节内容，提升学生的直观 想象、逻辑推理、数学运算的核心素 养． 画出对数函数 y＝log2x，y＝log x 的图象，说出该函数的性质，探究对数型函数 y＝ loga(x2－2x－3)的一般性质(定义域、值域、单调性等)． 1．平移变换 当 b＞0 时，将 y＝logax 的图象向左平移 b 个单位，得到 y＝loga(x＋b)的图象；向右平 移 b 个单位，得到 y＝loga(x－b)的图象．当 b＞0 时，将 y＝loga x 的图象向上平移 b 个单位， 得到 y＝logax＋b 的图象，将 y＝logax 的图象向下平移 b 个单位，得到 y＝logax－b 的图 象． 2．对称变换 要得到 y＝loga 1 x的图象，应将 y＝loga x 的图象关于 x 轴对称． 为了得到函数 y＝lg x＋3 10 的图象，只需把函数 y＝lg x 的图象上所有的点 ． 向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位　[y＝lg x＋3 10 ＝lg (x＋3)－1，故将 y＝lgx 向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位．] 对数函数的图象 【例 1】　作出函数 y＝|log2 (x＋2)|＋4 的图象，并指出其单调增区间． [思路点拨]　可先作出 y＝log2 x 的图象，再左移 2 个单位得到 y＝log2 (x＋2)，通过翻 折变换得到 y＝|log2 (x＋2)|，再向上平移 4 个单位即可． [解]　步骤如下： (1)作出 y＝log2 x 的图象，如图(1)． (2)将 y＝log2 x 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位得到 y＝log2 (x＋2)的图象，如图 - 2 - (2)． (3)将 y＝log2 (x＋2)的图象在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，得到 y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)． (4)将 y＝|log2 (x＋2)|的图象沿 y 轴方向向上平移 4 个单位，得到 y＝|log2(x＋2)|＋4 的图象，如图(4)． 由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)． 1．已知 y＝f(x)的图象，求 y＝|f(x＋a)|＋b 的图象步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b． 2．已知 y＝f(x)的图象，求 y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下： y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|． 从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进 行翻折，内部变换的顺序是先变换 x，再变换 y． [跟进训练] 1．(1)若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为 R 的增函数，则函数 g(x)＝loga (x＋1) 的图象大致是(　　) (2)已知 lg a＋lg b＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logb x 的图象可能是(　　) - 3 - (1)D　(2)B　[(1)因为函数 f(x)＝a－x 是定义域为 R 的增函数，所以 01；当 b>1 时，00⇒x2<9⇒－30． 又(2－x1)(2＋x2)>0，(2＋x1)(2－x2)>0， ∴ 2－x12＋x2 2＋x12－x2>1， ∴lg 2－x12＋x2 2＋x12－x2>0． 从而 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在(－2,2)上为减函数． 对数函数性质的综合应用 1常见的命题方式,对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大小值以及不等式 等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算. 2解此类问题的基本思路,首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点， 明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路. [跟进训练] 3．已知函数 f(x)＝loga (x＋1)(a>1)，若函数 y＝g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称 的点 Q 在函数 f(x)的图象上． (1)写出函数 g(x)的解析式； (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)＋g(x)≥m 成立，求 m 的取值范围． [解]　(1)设 P(x，y)为 g(x)图象上任意一点，则 Q(－x，－y)是点 P 关于原点的对称点， ∵Q(－x，－y)在 f(x)的图象上， ∴－y＝loga(－x＋1)，即 y＝g(x)＝－loga(1－x)． (2)f(x)＋g(x)≥m，即 loga x＋1 1－x≥m． - 6 - 设 F(x)＝loga 1＋x 1－x＝loga(－1＋ 2 1－x)，x∈[0,1)， 由题意知，只要 F(x)min≥m 即可． ∵F(x)在[0,1)上是增函数， ∴F(x)min＝F(0)＝0． 故 m 的取值范围为(－∞，0]． 解对数不等式(或方程) [探究问题] 1．对数函数的单调性，内容是什么？ [提示]　对数函数 y＝loga x，当 a>1 时，在(0，＋∞)上单调递增，当 00 且 a≠1，x>0． 【例 4】　已知函数 f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0 且 a≠1)，设 h(x) ＝f(x)－g(x)．求函数 h(x)的定义域，判断 h(x)的奇偶性，并说明理由． [思路点拨]　根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时 应注意讨论． [解]　∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}， g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x<1}， ∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－11)，求 f(x)的定义域． [解]　因为 f(x)＝loga 1＋x 1－x， 所以 1＋x 1－x>0，即Error!或Error! 所以－10，所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)