北师大版高三数学复习专题-平面向量基础达标-第5章第1节 6页

第五章 第一节 一、选择题 1．下列命题中为假命题的是( ) A．向量AB→与BA→的长度相等 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于 0 D．共线的单位向量都相同 [答案] D [解析] 由定义可知，A、B、C 正确．由于共线的单位向量方向可以相同或相反，故 D 错误． 2．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( ) A．PA→＋PB→＝0 B．PB→＋PC→＝0 C．PC→＋PA→＝0 D．PA→＋PB→＋PC→＝0 [答案] C [解析] 解法 1：由向量加法的平行四边形法则易知，BA→与BC→的和向量过 AC 边上的中 点，长度是 AC 边上的中线长的二倍，结合已知条件可知 P 为 AC 边中点，故PA→＋PC→＝0. 解法 2：∵BC→＋BA→＝2BP→， ∴PB→＋BC→＋PB→＋BA→＝0，即PC→＋PA→＝0. 3．(2014·新课标Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，则EB→＋FC→ ＝( ) A．AD→ B．1 2AD→ C．BC→ D．1 2BC→ [答案] A [解析] 如图， EB→＋FC→＝－1 2(BA→＋BC→)－1 2(CB→＋CA→) ＝－1 2(BA→＋CA→)＝1 2(AB→＋AC→)＝AD→ . 4．(文)下列命题中真命题是( ) ①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得 a＝λb ②a∥b⇔存在不全为 0 的实数λ1 和λ2 使λ1a＋λ2b＝0 ③a 与 b 不共线⇔若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0 ④a 与 b 不共线⇔不存在实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ [答案] B (理)已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－B．如果 c∥d，那么( ) A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向 [答案] D [解析] 考查向量相等及向量平行的条件． ∵c∥d，∴c＝λd，∴ka＋b＝λ(a－b)， ∴ k＝λ 1＝－λ ，∴k＝－1，λ＝－1.故选 D． 5．非零向量OA→ ，OB→ 不共线，且 2OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则点 Q(x，y) 的轨迹方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 [答案] A [解析] PA→＝λAB→，得OA→ －OP→ ＝λ(OB→ －OA→ )， 即OP→ ＝(1＋λ)OA→ －λOB→ . 又 2OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ， ∴ x＝2＋2λ， y＝－2λ， 消去λ得 x＋y＝2. 6．在四边形 ABCD 中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→ ＝－5a－3b，其中 a、b 不共线， 则四边形 ABCD 为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 [答案] C [解析] AD→ ＝AB→＋BC→＋CD→ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→， ∴AD→ ∥BC→，且|AD→ |＝2|BC→|，∴四边形 ABCD 为梯形．故选 C． 二、填空题 7．化简： (1)AB→－AD→ －DC→ ＝________ (2)(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ )＝________ [答案] (1)CB→ (2)0 [解析] 运用三角形法则求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同 始连终，指向被减”． (1)AB→－AD→ －DC→ ＝DB→ －DC→ ＝CB→. (2)解法 1：(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ )＝AB→－CD→ －AC→＋BD→ ＝(AB→＋BD→ )－(AC→＋CD→ )＝AD→ － AD→ ＝0. 解法 2：(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ )＝AB→－CD→ －AC→＋BD→ ＝(AB→－AC→)＋(DC→ －DB→ )＝CB→＋BC→ ＝0. 8．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则λ＝________. [答案] －1 3 [解析] 由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)， ∴ λ＝－k 3k＝1 ，解得 λ＝－1 3 k＝1 3 . 9．若点 O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB→ －OC→ |＝|OB→ ＋OC→ －2OA→ |，则△ABC 的形状为________． [答案] 直角三角形 [解析] OB→ ＋OC→ －2OA→ ＝OB→ －OA→ ＋OC→ －OA→ ＝AB→＋AC→，OB→ －OC→ ＝CB→＝AB→－AC→，∴ |AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|， 故 A、B、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 三、解答题 10．已知向量 a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中 e1，e2 为两个非零不共线 向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量 d＝λa＋μb 与 c 共线？ [分析] 运用向量共线的条件，确定是否存在实数 k，使是 d＝kC． [解析] d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2. 要使 c∥d，则应存在实数 k，使 d＝kc， 即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝k(2e1－9e2)＝2ke1－9ke2， ∵e1，e2 不共线，∴ 2λ＋2μ＝2k， －3λ＋3μ＝－9k， ∴λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使 d 与 c 共线. 一、选择题 1．(2014·福建高考)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所 在平面内任意一点，则OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ 等于( ) A．OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→ [答案] D [解析] 本题考查了平面向量平行四边形法则， OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＝(OA→ ＋OC)＋(OB→ ＋OD→ ) ＝2OM→ ＋2OM→ ＝4OM→ . 2．(文)已知 P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点 P 一定 在( ) A．△ABC 的内部 B．AC 边所在直线上 C．AB 边所在直线上 D．BC 边所在直线上 [答案] B [解析] 本题考查平面向量的共线问题，由CB→＝λPA→＋PB→得CB→－PB→＝λPA→，∴CP→＝λPA→. 则CP→ 与PA→为共线向量，又CP→ 与PA→有一个公共点 P，∴C、P、A 三点共线，即点 P 在直线 AC 上．故选 B． (理)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且DC→ ＝2BD→ ，CE→＝2EA→， AF→＝2FB→，则AD→ ＋BE→＋CF→与BC→( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 [答案] A [解析] AD→ ＋BE→＋CF→ ＝AB→＋BD→ ＋BC→ ＋CE→ ＋BF→－BC→ ＝AB→＋1 3BC→ ＋BC→－2 3AC→－1 3AB→－BC→＝2 3(AB→－AC→)＋1 3BC→＝2 3CB→＋1 3BC→＝－1 3BC→，故选 A． 二、填空题 3．在△ABC 所在的平面内有一点 P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC 与△ABC 的面 积之比是________． [答案] 2 3 [解析] 由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝ 2AP→，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示．故S△PBC S△ABC ＝PC AC ＝2 3. 4．在△ABC 中，点 M 满足MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，若AB→＋AC→＋mAM→ ＝0，则实数 m 的值 为______． [答案] －3 [解析] 由MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0 知 M 为△ABC 的重心， 设 BC 的中点为 D，则有AB→＋AC→＝2AD→ ，而AM→ ＝2 3AD→ ， 故 2AD→ ＋2 3mAD→ ＝0，∴m＝－3. 三、解答题 5．设 a，b 是两个不共线的非零向量，若 a 与 b 起点相同，t∈R，t 为何值时，a，tb， 1 3(a＋b)三向量的终点在一条直线上？ [解析] 设 a－tb＝λ[a－1 3(a＋b)](λ∈R)， 化简整理得(2 3λ－1)a＋(t－1 3λ)b＝0， ∵a 与 b 不共线， ∴由平面向量基本定理有 2 3λ－1＝0， t－λ 3 ＝0， ∴ λ＝3 2 ， t＝1 2. 故 t＝1 2 时，a，tb，1 3(a＋b)的终点在一条直线上． 6．在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上|AD| |AB| ＝1 3 ，|AE| |AC| ＝1 4 ，BE 与 CD 交于点 P， 且AB→＝a，AC→＝b，用 a，b 表示AP→. [解析] 取 AE 的三等分点 M，使 AM＝1 3|AE|，连接 DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝1 4|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，且 DM∥BE. AP→＝AD→ ＋DP→ ＝AD→ ＋ 2 11DC→ ＝1 3AB→＋ 2 11(DA→ ＋AC) ＝1 3AB→＋ 2 11(－1 3AB→＋AC→) ＝ 3 11AB→＋ 2 11AC→＝ 3 11a＋ 2 11B．