高中人教a版数学必修4：第20课时 向量的数乘运算及其几何意义 word版含解析 4页

第 20 课时 向量的数乘运算及其几何意义 课时目标 1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义． 2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算． 识记强化 1．向量数乘的运算律 (1)λ(μ)a＝μ(λa)； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在唯一实数λ，使 b＝λa. 课时作业 一、选择题 1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 答案：C 解析：当λ<0 时，|λa|＝λ|a|不成立，A 错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a 是一个向量， 所以 B 错误；当λ＝0 或 a＝0 时，|λa|＝0，D 错误．故选 C. 2．已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)，则( ) A．A，B，D 三点共线 B．A，B，C 三点共线 C．B，C，D 三点共线 D．A，C，D 三点共线 答案：A 解析：BD→ ＝BC→＋CD→ ＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB→，∴A，B，D 三点共线． 3．如图所示，D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量CD→ ＝( ) A．－BC→＋1 2BA→ B．－BC→－1 2BA→ C.BC→－1 2BA→ D.BC→＋1 2BA→ 答案：A 解析：CD→ ＝CB→＋BD→ ＝－BC→＋1 2BA→. 4．已知向量 a 与 b 反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( ) A.r R B．－r R C．－R r D.R r 答案：C 解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又 a 与 b 反向，∴λ＝－R r. 5．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长 线交 DC 于点 F，若AB→＝a，AD→ ＝b，则AF→＝( ) A.1 3a＋b B.1 2a＋b C．a＋1 3b D．a＋1 2b 答案：A 解析：由已知条件可知 BE＝3DE，∴DF＝1 3AB，∴AF→＝AD→ ＋DF→ ＝AD→ ＋1 3AB→＝1 3a＋b. 6．如图，在△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于点 F.设AB→＝a，AC→＝b，AF→ ＝xa＋yb，则(x，y)为( ) A. 1 2 ，1 2 B. 2 3 ，2 3 C. 1 3 ，1 3 D. 2 3 ，1 2 答案：C 解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F 是△ABC 的重心，则DF→ ＝1 3DC→ ，∴AF→＝AD→ ＋DF→ ＝AD→ ＋1 3DC→ ＝AD→ ＋1 3(AC→－AD→ )＝2 3AD→ ＋1 3AC→＝1 3AB→＋1 3AC→＝1 3a＋1 3b，∴x＝1 3 ，y＝1 3. 二、填空题 7．已知 x，y 是实数，向量 a，b 不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则 x＝________， y＝________. 答案：1 2 1 2 解析：由已知得 x＋y－1＝0 x－y＝0 ，解得 x＝y＝1 2. 8．下面三个命题：①非零向量 a 与 b 共线，则 a 与 b 所在的直线平行；②向量 a 与 b 共线，则存在唯一实数λ，使 a＝λb；③若 a＝λb，则 a 与 b 共线． 正确命题的序号为：________. 答案：③ 解析：①a 与 b 所在直线有可能在一条直线上；②若 b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数； ③正确． 9．已知点 P，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA→＋PC→＝0,2QA→ ＋QB→ ＋QC→ ＝ BC→，若|PQ→ |＝λ|BC→|，则正实数λ＝________. 答案：1 2 解析：由条件PA→＋PC→＝0，知PA→＝－PC→＝CP→，所以点 P 是边 AC 的中点．又 2QA→ ＋QB→ ＋QC→ ＝BC→，所以 2QA→ ＝BC→－QB→ －QC→ ＝BC→＋CQ→ ＋BQ→ ＝2BQ→ ，从而有QA→ ＝BQ→ ，故点 Q 是 边 AB 的中点，所以 PQ 是△ABC 的中位线，所以|PQ→ |＝1 2|BC→|，故λ＝1 2. 三、解答题 10．设两个非零向量 e1 与 e2 不共线，如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→ ＝3(e1－e2)． (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k 的值，使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线． 解：(1)证明：BD→ ＝BC→＋CD→ ＝5e1＋5e2＝5AB→， ∴BD→ ∥AB→，又 AB、BD 有公共点 B，∴A、B、D 三点共线． (2)∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，∴存在实数λ使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， ∴ k＝λ 1＝kλ ，∴k2＝1，∴k＝±1. 11. 如图，在△ABC 中，AN→＝1 3NC→ ，P 是 BN 上的一点，若AP→＝mAB→＋ 2 11AC→，求实数 m 的 值． 解：AP→＝AN→＋NP→＝1 4AC→＋NP→＝mAB→＋ 2 11AC→， ∴NP→＝mAB→－ 3 44AC→. 又NB→＝NC→ ＋CB→＝3 4AC→＋(AB→－AC→)＝AB→－1 4AC→， 设NP→＝λNB→，则λAB→－1 4λAC→＝mAB→－ 3 44AC→，∴m＝λ＝ 3 11. 能力提升 12．已知 P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点 P 一定在 ( ) A．△ABC 的内部 B．AC 边所在直线上 C．AB 边所在直线上 D．BC 边所在直线上 答案：B 解析：由CB→ ＝λPA→＋PB→，得CB→ －PB→＝λPA→，∴CP→＝λPA→ ，则CP→与PA→为共线向量又有一 个公共点 P， ∴C、P、A 三点共线即 P 点在直线 AC 上． 13．如图，G 是△OAB 的重心，OG 的延长线交 AB 于点 M，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线． (1)设PG→ ＝λPQ→ ，将OG→ 用λ，OP→ ，OQ→ 表示； (2)设OP→ ＝xOA→ ，OQ→ ＝yOB→ ，证明：1 x ＋1 y 是定值． 解：(1)OG→ ＝OP→ ＋PG→ ＝OP→ ＋λPQ→ ＝OP→ ＋λ(OQ→ －OP→ )＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ . (2)由(1)及OP→ ＝xOA→ ，OQ→ ＝yOB→ ，得OG→ ＝(1－λ)OP→ ＋λOQ→ ＝(1－λ)xOA→ ＋λyOB→ .① ∵G 是△OAB 的重心， ∴OG→ ＝2 3OM→ ＝2 3 ×1 2(OA→ ＋OB→ )＝1 3OA→ ＋1 3OB→ .② 由①②得 1－λx－1 3 OA→ ＝ 1 3 －λy OB→ ， 而OA→ ，OB→ 不共线， ∴ 1－λx＝1 3 λy＝1 3 ，解得 1 x ＝3－3λ 1 y ＝3λ ， ∴1 x ＋1 y ＝3，即1 x ＋1 y 是定值．