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- 2021-06-16 发布
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第四讲 正、余弦定理及解三角形
1.[2020广东七校联考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=3+1,b=2,A=π3,则B=( )
A.3π4 B.π6 C.π4 D.π4或3π4
2.[2020湖北部分重点中学高三测试]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc,若b2+c2 - a2=85bc,则tan B的值为( )
A.-13 B.13 C.-3 D.3
3.[2019湖北部分重点中学高三测试]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA,若a+b=4,则c的取值范围为( )
A.(0,4) B.[2,4) C.[1,4) D.(2,4]
4.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sin∠BAC= .
5.[2019安徽示范高中高三测试]在△ABC中,∠ABC=90°,延长AC到D,使得CD=AB=1,若∠CBD=30°,则AC= .
6.[2020长春市第一次质量监测]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,a>b.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.
7.[2020惠州市一调]已知△ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC .
(1)求角A;
(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.
8.[2019辽宁五校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=2sin Acos(A+B),且sin2A+sin2B - sin2C+2sin Asin B=0.
(1)求证:a,b,2a成等比数列;
(2)若△ABC的面积是2,求c.
9.[2020合肥市调研检测]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且sinA-sinBsinC≥c-ba+b,则( )
A.A的最大值为π6 B.A的最小值为π6
C.A的最大值为π3 D.A的最小值为π3
10.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为( )
A.32 B.22 C.3 D.4
11.[2019广东百校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=π4,a=4,S△ABC=2,则2a+3c-b2sinA+3sinC-sinB=( )
A.5 B.25 C.27 D.213
12.[2020长春市第一次质量监测][双空题]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b - c,a - b),n=(sin C,sin A+
sin B),且m⊥n,则A= ;若△ABC的面积为3,则△ABC的周长的最小值为 .
13.[2019河北六校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2 - bc,且△ABC的面积为334,则a的最小值为 .
14.[2019福建宁德质检]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4 - 4 - 1所示的海洋蓝
洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为 m.
图4 - 4 - 1
15.[2020大同市高三调研]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cos B=34.
(1)求1tanA+1tanC的值;
(2)设BA·BC=32,求a+c的值.
16.[2020山东省统考]在△ABC中,A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC.
(1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC;
(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB.
17.[多选题]在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB= - 55,则( )
A.sin∠BCD=310
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+45
D.△ABC为钝角三角形
18.[2020陕西省百校第一次联考][双空题]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,则cos∠ABC= ,
sin C= .
19.[2020洛阳市第一次联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C.
(1)求角A的大小;
(2)设a=3,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值.
第四讲 正、余弦定理及解三角形
1.C ∵c=3+1,b=2,A=π3,∴由余弦定理得a=b2+c2-2bccosA=4+(3+1)2-2×2×(3+1)×12=6,则由正弦定理得sin B=b·sinAa=2×326=22,∵B∈(0,2π3),∴B=π4.故选C.
2.C 因为cosAa+cosBb=sinCc,所以cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,
即1tanA+1tanB=1,又b2+c2 - a2=85bc,所以由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=45,则sin A=1-cos2A=35,tan A=sinAcosA=34,所以43+1tanB=1,解得tan B= - 3,故选C.
3.B 在△ABC中,由三角函数的定义知acos B+bcos A=c,结合正弦定理和已知条件,得a2+b2-c2c=abc,即a2+b2 - c2=ab,所以由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=12,又C∈(0,π),则C=π3,所以c2=a2+b2 - ab=(a+b)2 - 3ab≥(a+b)2 - 3×(a+b2)2=(a+b)24=4(当且仅当a=b=2时取等号),所以c≥2.又c0),在△BCD中,由正弦定理得BDsin∠BCD=CDsin∠CBD,所以BD=2sin∠BCD.
又sin∠BCD=sin∠ACB=1x,所以BD=2x.
在△ABD中,(x+1)2=1+(2x)2 - 2·2x·cos(90°+30°),
化简得x2+2x=2x+4x2,即x3=2,故x=32,即AC=32.
6.(1)由题可知sin A=sin B·sinAcosA,因为sin A≠0,所以sin B=cos A.
所以cos(π2 - B)=cos A,由a>b,知A>B,则0b可知,π40),则CB=2x,cos∠CDB=9-3x26x=3-x22x= - 55,得x=5(负值已舍去).所以CD
=5,CB=25.因为cos∠CDB= - 55,所以sin∠CDB=1-(-55)2=255,由正弦定理得sin∠BCD=BD·sin∠BDCBC=35,故A错误;由余弦定理,得cos∠CBD=32+(25)2-(5)22×3×25=255,所以sin∠CBD=1-(255)2=55,故S△ABC=12CB·BA·sin∠CBD=8,故B正确;在△ABC中,由余弦定理得AC=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠CBD=25,所以△ABC的周长为8+45,故C正确;在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=BC2+AC2-AB22BC·AC= - 35,所以∠ACB为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.
18.66 210521 解法一 依题意得,cos∠ADB= - cos∠BDC,所以BD2+AD2-AB22BD·AD= - BD2+DC2-BC22BD·DC,又AD=DC=12AC,所以BD2+AD2 - AB2= - (BD2+DC2 - BC2),所以2BD=2(AB2+BC2)-AC2,即25=2[(463)2+22]-AC2,解得AC=2213.由余弦定理得cos∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=66,所以sin∠ABC=306,由正弦定理ABsinC=ACsin∠ABC,得sin C=AB·sin∠ABCAC=210521.
解法二 依题意得BD=12(BA+BC),所以BD2=14(BA+BC)2,即BA2+BC2+2BA·BC=4BD2,即(463)2+22+2×463×2cos∠ABC=4×(5)2,解得cos∠ABC=66,所以sin∠ABC=306.因为(BA+BC)2+(BA - BC)2=2(BA2+BC2),所以4×(5)2+|CA|2=2[(463)2+22],解得|CA|=2213.由正弦定理ABsinC=ACsin∠ABC,得sin C=AB·sin∠ABCAC=210521.
19.(1)∵(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C,
∴由正弦定理,得(a+b+c)(b+c - a)=bc,即b2+c2 - a2= - bc.
由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc= - 12.又A∈(0,π),∴A=23π.
(2)根据a=3,A=23π及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2,
∴b=2sin B,c=2sin C,
∴S=12bcsin A=12×2sin B×2sin C×32=3sin Bsin C,
∴S+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B - C).
故当B=C,B+C=π3,即B=C=π6时,S+3cos Bcos C取得最大值3.
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