北师版高中数学必修一第5讲：函数的单调性（学生版） 5页

1 函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说 函数 )(xf 在区间 D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数 )(xf 在区间 D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数 )(xf 的定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 21, xx ， （1）若当 1x  2x 时，都有 1( )f x  )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是增函数； （2）若当 1x  2x 时，都有 )( 1xf  )( 2xf ,则说 )(xf 在区间 D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数 y = )(xf 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 )(xf 在这一区间具有（严格的） 单调性，这一区间叫做函数 )(xf 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间 上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数， 而在另一些区间上不是增函数.例如函数 2xy  （图 1），当  0,x   时是增函数，当  ,0x   时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、 21, xx 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设 21, xx 是区间上的任意两个实数，且 1x < 2x ； 2、作差定符号：即    1 2f x f x ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差 2 的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。 三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数  y f x  与函数  y f x 的单调性相反 2、当  f x 恒为正或恒为负时，函数   1y f x  与函数  y f x 的单调性相反 3、在公共区间内，增函数  增函数 增函数，增函数 减函数 增函数，减函数 增函数 减 函数。 四、复合函数单调性的判断 对于函数 )(ufy  和 )(xgu  ，如果 )(xgu  在区间 ),( ba 上是具有单调性，当 ),( bax  时， ),( nmu  ，且 )(ufy  在区间 ),( nm 上也具有单调性，则复合函数 ))(( xgfy  在区间 ),( ba 具有 单调性的规律见下表： )(ufy  ),( nmu  增 ↗ 减 ↘ )(xgu  ),( bax  增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ ))(( xgfy  ),( bax  增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同增异减”。 类型一用定义证明函数的单调性 例 1：证明：函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 练习 1：证明函数 f(x)＝－ x在定义域上是减函数 练习 2：(2014～2015 学年度宁夏育才中学中学高一上学期月考)设函数 f(x)= 榐2 榐1 ,用单调性定义 证明在（-1，+ ∞ ）上是减函数。 类型二 证明含参数的函数的单调性 例 2：已知函数 f(x)＝ ax x2－1 (a 为常数且 a≠0)，试判断函数 f(x)在(－1,1)上的单调性． 练习 1：判断函数 f(x)＝a x (a 为常数且 a≠0)在(0，＋∞)上的单调性． 练习 2：判断函数     2 0x af x ax    在 ,0 上的单调性 类型三 证明抽象函数的单调性 例 3：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝ 1 f x 在(0， ＋∞)上的单调性，并证明． 3 练习 1：已知函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(x)<0(x>0)，试判断 F(x)＝f ²(x)在(0， ＋∞)上的单调性，并证明 练习 2：(2014～2015 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数 f(x)＝x²＋2x＋3 在[－1， ＋∞)的单调性为____ 类型四 求函数的单调区间 例 4：求函数 y＝x＋1 x ，x∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象． 练习 1：求函数 f(x)＝ 1 1－x 的单调区间． 练习 2：函数  2 1 1 x xy x    的单调递减区间是 类型五 利用单调性解不等式 例 5：已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)1 2 B．a≤1 2 C．a>－1 2 D．a<1 2 3．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不 正确的是( ) A．f x1 －f x2 x1－x2 >0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0 4．(2014～2015 学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数 f(x)＝－x2＋2ax＋3 在 区间(－∞，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 5．若函数 f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数 f(x)在区间(a， c)上( ) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性 5 6．(2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列函数在区间(0,1)上是增函数的是 ( ) A．y＝|x| B．y＝3－2x C．y＝ 1 2＋x D．y＝x2－4x＋3 ∴函数 y＝|x|在(0,1)上是增函数． 7．(2014～2015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)函数 y＝x2＋bx＋c 在区间(－∞，1)上是 减函数时，b 的取值范围是( ) A．b≤－2 B．b≥－2 C．b>－2 D．b<－2 能力提升 8. (2014～2015 学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数 f(x)＝ x 2x－1 ，证明函数 f(x) 在区间(1，＋∞)上是减函数． 9. 求函数 y＝ x－1－1 x 的最小值． 10. 已知函数 f(x)对任意 x、y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当 x>0 时， f(x)<0，f(1) ＝－2 3 . (1)求证：f(x)是 R 上的单调递减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最小值．