高中数学（人教版必修5）配套练习：2-4等比数列第2课时 6页

第二章 2.4 第 2 课时 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么 a4＋a5＝( ) A．27 B．27 或－27 C．81 D．81 或－81 [答案] B [解析] ∵q2＝a3＋a4 a2＋a1 ＝9，∴q＝±3， 因此 a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27 或－27.故选 B． 2．如果数列{an}是等比数列，那么( ) A．数列{a2n}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列 [答案] A [解析] 设 bn＝a2n，则bn＋1 bn ＝a2n＋1 a2n ＝(an＋1 an )2＝q2， ∴{bn}成等比数列；2an＋1 2an ＝2an＋1－an≠常数； 当 an<0 时 lgan 无意义；设 cn＝nan， 则cn＋1 cn ＝n＋1an＋1 nan ＝n＋1q n ≠常数． 3．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5.则a18 a10 等于( ) A．－2 3 或－3 2 B．2 3 C．3 2 D．2 3 或3 2 [答案] D [解析] a2a10＝a5a7＝6. 由 a2a10＝6 a2＋a10＝5 ，得 a2＝2 a10＝3 或 a2＝3 a10＝2 . ∴a18 a10 ＝a10 a2 ＝3 2 或2 3.故选 D． 4．若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列，c、a、b 成等比数列，且 a＋3b＋c＝10，则 a＝( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 [答案] D [解析] 2b＝a＋c a2＝bc 消去 a 得：4b2－5bc＋c2＝0， ∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入 a＋3b＋c＝10 中得 b＝2，∴a＝－4. 5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q＝2，且 a1·a2·a3·…·a30＝230，那么 a3·a6·a9·…·a30 等于( ) A．210 B．220 C．216 D．215 [答案] B [解析] 设 A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29， C＝a3a6a9…a30，则 A、B、C 成等比数列， 公比为 q10＝210，由条件得 A·B·C＝230，∴B＝210， ∴C＝B·210＝220. 6．一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有 ( ) A．13 项 B．12 项 C．11 项 D．10 项 [答案] B [解析] 设前三项分别为 a1，a1q，a1q2，后三项分别为 a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1. 所以前三项之积 a31q3＝2，后三项之积 a31q3n－6＝4. 两式相乘得，a61q3(n－1)＝8，即 a21qn－1＝2. 又 a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝an1qnn－1 2 ＝64， 即(a21qn－1)n＝642，即 2n＝642.所以 n＝12. 二、填空题 7．已知 1，a1，a2,4 成等差数列，1，b1，b2，b3,4 成等比数列，则a1＋a2 b2 的值为________． [答案] 5 2 [解析] 解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5， b22＝1×4＝4，且 b2 与 1,4 同号， ∴b2＝2. ∴a1＋a2 b2 ＝5 2. 解法二：设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q， ∵1＋3d＝4，∴d＝1，∴a1＝2，a2＝3. ∵q4＝4.∴q2＝2.∴b2＝q2＝2. ∴a1＋a2 b2 ＝2＋3 2 ＝5 2. 8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7， 则 b6b8＝________. [答案] 16 [解析] ∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27 ＝4a7－a27＝0， ∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4. ∴b6b8＝b27＝16. 三、解答题 9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列， 它们的积为－80，求出这四个数． [解析] 由题意设此四个数为b q ，b，bq，a， 则有 b3＝－8 2bq＝a＋b ab2q＝－80 ，解得 a＝10 b＝－2 q＝－2 或 a＝－8 b＝－2 q＝5 2 . 所以这四个数为 1，－2,4,10 或－4 5 ，－2，－5，－8. 10．已知数列{an}为等比数列， (1)若 a3a5＝18，a4a8＝72，求公比 q； (2)若 a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求项数 n. [解析] (1)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，故 q＝± 2. (2)由 a3＋a6＝(a2＋a5)·q，得 9＝18q，故 q＝1 2. 又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，解得 a1＝32.再由 an＝a1qn－1，得 1＝32×(1 2)n－1，解得 n＝6. 一、选择题 1．设等比数列的前三项依次为 3，3 3，6 3，则它的第四项是( ) A．1 B．8 3 C．9 3 D．12 15 [答案] A [解析] a4＝a3q＝a3·a2 a1 ＝6 3× 3 3 3 ＝ 31 6 ×31 3 31 2 ＝1. 2．已知 2a＝3,2b＝6,2c＝12，则 a，b，c( ) A．成等差数列不成等比数列 B．成等比数列不成等差数列 C．成等差数列又成等比数列 D．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A [解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1， c＝log2 12＝log2 3＋2. ∴b－a＝c－B． 解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选 A． 3．在数列{an}中，a1＝2，当 n 为奇数时，an＋1＝an＋2；当 n 为偶数时，an＋1＝2an－1，则 a12 等于( ) A．32 B．34 C．66 D．64 [答案] C [解析] 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11 构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 a11 ＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选 C． 4．若方程 x2－5x＋m＝0 与 x2－10x＋n＝0 的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为 1 的等比数列，则m n 的值是( ) A．4 B．2 C．1 2 D．1 4 [答案] D [解析] 由题意可知 1 是方程之一根，若 1 是方程 x2－5x＋m＝0 的根则 m＝4，另一根为 4，设 x3，x4 是方程 x2－10x＋n＝0 的根，则 x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为 1、x3、4、 x4，公比为 2、x3＝2、x4＝8、n＝16、m n ＝1 4 ；若 1 是方程 x2－10x＋n＝0 的根，另一根为 9， 则 n＝9，设 x2－5x＋m＝0 之两根为 x1、x2 则 x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意． 二、填空题 5．在 3 和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去 6 则成等比数列， 则此未知数是__________． [答案] 3 或 27 [解析] 设此三数为 3、a、b，则 2a＝3＋b a－62＝3b ， 解得 a＝3 b＝3 或 a＝15 b＝27 . ∴这个未知数为 3 或 27. 6．a，b，c 成等比数列，公比 q＝3，又 a，b＋8，c 成等差数列，则三数为__________． [答案] 4,12,36 [解析] ∵a，b，c 成等比数列，公比 q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又 a，b＋8，c 成等差数列， ∴2b＋16＝a＋c， 即 6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为 4,12,36. 三、解答题 7．等差数列{an}中，a4＝10，且 a3，a6，a10 成等比数列，求数列{an}前 20 项的和 S20. [解析] 设数列{an}的公差为 d，则 a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d， a10＝a4＋6d＝10＋6D． 由 a3，a6，a10 成等比数列得，a3a10＝a26， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得 10d2－10d＝0， 解得 d＝0，或 d＝1. 当 d＝0 时，S20＝20a4＝200； 当 d＝1 时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7， 因此，S20＝20a1＋20×19 2 d＝20×7＋190＝330. 8．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中 k 是常数． (1)求 a1 及 an； (2)若对于任意的 m∈N*，am，a2m，a4m 成等比数列，求 k 的值． [解析] (1)由 Sn＝kn2＋n， 得 a1＝S1＝k＋1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1. 经验证，n＝1 时，上式也成立， ∴an＝2kn－k＋1. (2)∵am，a2m，a4m 成等比数列， ∴a22m＝am·a4m， 即(4mk－k＋1)2 ＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)， 整理得 mk(k－1)＝0. ∵对任意的 m∈N*成立， ∴k＝0 或 k＝1.