高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程成长训练新人教A版选修4-41 6页

三 简单曲线的极坐标方程 主动成长 夯基达标 1.已知点 P( 3 2π,2 ),若点 P 的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R,下列点中与点 P 重合的是 ( ) A. )3 π5,2(),3 4π,2(),3 π,2(  B. )3 π5,2(),3 4π,2(),3 8π,2(  C. )3 4π,2(),3 5π,2(),3 4π,2(  D. )3 π,2(  解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R 时,一 个点的极坐标只有两个形式:(- 2 ,- 3 π )或(2, 3 2π ). 答案:D 2.圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心的坐标是( ) A.(1, 4 π ) B.( 4 π,2 1 ) C.( 4 π,2 ) D.(2, 4 π ) 解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ- 4 π ). 这是ρ=2rcos(θ-θ0)形式,它的圆心为 O′(r,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解. 答案:A 3.极坐标系中,方程ρ=cosθ(θ∈［0,π］,ρ∈R)表示的曲线是( ) A.以( 2 1 ,0)为圆心,半径为 2 1 的上半个圆 B.以( 2 1 ,0)为圆心,半径为 2 1 的圆 C.以(1,0)为圆心,半径为 2 1 的上半个圆 D.以( 2 1 , 2 π )为圆心,半径为 2 1 的圆 解析:当ρ≥0 时,θ∈［0, 2 π ］,方程ρ=cosθ表示上半个圆,半径为 2 1 ,当ρ≤0 时,θ∈ ［ 2 π ,π］,方程表示下半个圆,半径为 2 1 . 答案:B 4.方程ρ=sinθ+cosθ+K 的曲线不经过极点,则 K 的取值范围是( ) A.K≠0 B.K∈R C.|K|>2 D.|K|≤2 解析:当ρ=0 时,sinθ+cosθ=-K,若此方程无解,由|sinθ+cosθ|≤ 2 ,∴当|K|>2 时,方 程无解. 答案:C 5.在极坐标系中,点 P(2, 6 11π )到直线ρsin(θ- 6 π )=1 的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3 解法一:∵xP=2cos 6 11π = 3 ,yP=2sin 6 11π =-1, ∴P 点的直角坐标为( 3 ,-1). 又直线ρsin(θ- 6 π )=1 化为直角坐标方程为 2 3 y- 2 1 x-1=0. ∴P 点到直线的距离为 d=|- 2 3 - 2 1 · 3 -1|=1+ 3 . 解法二:直线ρsin(θ- 6 π )=1 与直线θ= 6 π 平行,且距离为 1. 过 P 点作 PH 垂直于直线 ρsin(θ- 6 π )=1,垂足为 H,设 PH 交直线θ= 6 π 于 M,在 Rt△POM 中,OP=2,∠POM= 3 π . ∴PM=2sin 3 π = 3 . 故 P 点到直线ρsin(θ- 6 π )=1 的距离为 1+ 3 . 答案:D 6.点 M 在直线ρcosθ=a(a>0)上,O 为极点,延长 OM 到 P 使|MP|=b(b>0),则 P 的轨迹方程是 ________. 解析:设 M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρ0cosθ0=a,ρ=ρ0+b,θ0=θ代入即可. 答案:(ρ-b)cosθ=a 7.画出极坐标方程(θ- 4 π )ρ+( 4 π -θ)sinθ=0 的图形. 解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程 连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线. 解:如图,将原方程分解因式得(θ- 4 π )(ρ-sinθ)=0,∴θ- 4 π =0, 即θ= 4 π 为一条射线,或ρ-sinθ=0 为一个圆. 8. 证 明 过 A(ρ1,θ1) 和 B(ρ2,θ2) 两 点 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 .)sin()sin()sin( 1 2 2 112        解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不 难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来. 解 : 设 M(ρ,θ) 为 直 线 AB 上 一 点 , 如 图,∵S△AOB= 2 1 ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S△AOM= 2 1 ρρ1sin(θ-θ1), S△BOM= 2 1 ρρ2sin(θ2-θ), 又 S△AOB=S△AOM+S△BOM, ∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ), 即 .)sin()sin()sin( 1 2 2 112        9.已知圆ρ=2,直线ρcosθ=4,过极点作射线交圆于 A,直线于 B,求 AB 中点 M 的轨迹方程. 解:设 M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有 ∴(2ρ-2)cosθ=4 ρ=2secθ+1. 10.从原点 O 引直线交直线 2x+4y-1=0 于点 M，P 为 OM 上一点，已知|OP|·|OM|=1，求 P 点 的极坐标方程. 解析:先把直线化为极坐标方程,由于 P 点的运动与 M 点有关,可以利用转移法来解决问题. 我们可以根据长度之间的关系式找到点 P 与点 M 坐标之间的关系. 解 : 如 图 , 以 O 为 极 点 ,x 轴 正 方 向 为 极 轴 建 立 坐 标 系 后 , 直 线 的 方 程 化 为 2ρcosθ+4ρsinθ-1=0. 设 M(ρ0,θ0),P(ρ,θ), 则 2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0. 又    10 0 ρ=ρ θ=θ ， ,知    ， ， ρ=ρ =θθ 1 0 0 代入 2  1 cosθ+4  1 sinθ-1=0, ∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0). 11.从极点 O 作圆 C：ρ=8cosθ的弦 ON，求 ON 的中点 M 的轨迹方程. 解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中, 求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的. 解法一:如图,圆 C 的圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连结 CM. ∵M 为弦 ON 的中点, ∴CM⊥ON.故 M 在以 OC 为直径的圆上. 所以,动点 M 的轨迹方程是ρ=4cosθ. 解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题. 设 M 点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1). N 点在圆ρ=8cosθ上, ∴ρ1=8cosθ1.(*) ∵M 是 ON 的中点, ∴    ， ， =θθ ρ=ρ 1 1 2 将它代入(*)式得 2ρ=8cosθ,故 M 的轨迹方程是ρ=4cosθ. 12.O 为已知圆外的定点,M 在圆上,以 OM 为边作正三角形 OMN,当点 M 在圆上移动时,求点 N 的轨迹方程(O、M、N 逆时针排列). 解:以 O 为极点,以 O 和已知圆圆心 O′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO′|=ρ0, 圆的半径为 r,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ0 2-r2=0, 设 N(ρ,θ),M(ρ1,θ1), ∵M 在圆上, ∴ρ1 2-2ρ0ρ1cosθ1+ρ0 2-r2=0.① ∵△OMN 为正三角形,∴        .3 π 3 π 1 1 1 1 －＝ ，＝ ＋＝ ＝     代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ- 3 π )+ρ0 2-r2=0,这就是点 N 的轨迹方程. 走近高考 1.(经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为( ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 解析:在ρ=4sinθ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sinθ. 再利用    θy=ρ �=ρ+yx sin ,222 可得 x2+y2=4y, 即 x2+(y-2)2=4. 答案:B 2.(经典回放)在极坐标系中,过点 M(2, 2 π )且平行于极轴的直线的极坐标方程是________. 解析:如图所示,设 P(ρ,θ)为直线上任一点,连结 PO,作 PA 垂直极轴于点 A. 在 Rt△PAO 中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2. ∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2. 答案:ρsinθ=2 3.(经典回放)设有半径为 4 的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,π),则这个圆的极坐 标方程是________. 解析:如图所示,设 P(ρ,θ)为圆上任一点,则在 Rt△RPO 中, |OR|=8,∠POR=π-θ, ∴ρ=8cos(π-θ),即ρ=-8cosθ. ∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ. 答案:ρ=-8cosθ