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- 2021-06-16 发布
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§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：
(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是__________．
(3)如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是________或________，那么就说函数 y＝f(x)
在这一区间具有________________，区间 D 叫做 y＝f(x)的__________．
2．a>0 时，二次函数 y＝ax2 的单调增区间为________．
3．k>0 时，y＝kx＋b 在 R 上是____函数．
4．函数 y＝1
x
的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在 R 上的函数 y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；
③若 x>0，则 f(x)<0；
④若 x<0，则 f(x)>0，其中正确的是( )
A．②③B．①④
C．②④D．①③
2．若(a，b)是函数 y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且 x1f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且 f(a)·f(b)<0，则方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根 B．至多有一个根
C．无实根 D．必有唯一的实根
4．函数 y＝x2－6x＋10 在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
5．如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则
下列结论中不正确的是( )
A.fx1－fx2
x1－x2
>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)0
6．函数 y＝ x2＋2x－3的单调递减区间为( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．设函数 f(x)是 R 上的减函数，若 f(m－1)>f(2m－1)，则实数 m 的取值范围
是______________．
8．函数 f(x)＝2x2－mx＋3，当 x∈[2，＋∞)时是增函数，当 x∈(－∞，2]时是
减函数，则 f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知 f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且 a0 时，00，则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作
比变形——与 1 比较——判断”．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间
2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A [由题意知 y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为 x2>x1，对应的
f(x2)>f(x1)．]
3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且 f(a)·f(b)<0，
∴①当 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)<0，f(b)>0，
②当 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)>0，f(b)<0，
由①②知 f(x)在区间[a，b]上必有 x0 使 f(x0)＝0 且 x0 是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为 x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先
递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数 y＝f(x)在给定的区间上是增函数，
则 x1－x2 与 f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项 A、B、D 正确；对于 C，若 x10
解析 由 f(m－1)>f(2m－1)且 f(x)是 R 上的减函数得 m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－m
4)2＋3－m2
8
，
由题意m
4
＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝
－x2＋2x＋3 x≥0
－x2－2x＋3x<0
＝
－x－12＋4 x≥0
－x＋12＋4x<0 .
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设 a0，x2－x1>0， x22－1＋ x21－1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
故函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在 f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令 m＝1，n＝0，得 f(1)＝f(1)·f(0)．
因为 f(1)≠0，所以 f(0)＝1.
(2)函数 f(x)在 R 上单调递减．
任取 x1，x2∈R，且设 x10，所以 00 时，01>0，
又 f(0)＝1，所以对于任意的 x1∈R 均有 f(x1)>0.
所以 f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即 f(x2)0
，解得 m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
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