高中数学（人教版必修5）配套练习：3-4基本不等式第1课时 7页

第三章 3.4 第 1 课时 一、选择题 1．函数 f(x)＝ x x＋1 的最大值为 ( ) A.2 5 B．1 2 C. 2 2 D．1 [答案] B [解析] 令 t＝ x(t≥0)，则 x＝t2， ∴f(x)＝ x x＋1 ＝ t t2＋1 . 当 t＝0 时，f(x)＝0； 当 t>0 时，f(x)＝ 1 t2＋1 t ＝ 1 t＋1 t . ∵t＋1 t ≥2，∴0< 1 t＋1 t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则 ( ) A．ab≤1 2 B．ab≥1 2 C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且 a＋b＝2， ∴b＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故 A、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4 ＝2(a－1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选 C. 3．设 0＜a＜b，且 a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B．a2＋b2 C．2ab D．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜1 2 ， 又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是 a 和 2ab， ∵1＝a＋b＞2 ab， ∴ab＜1 4 ， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－1 2 ＝1 2 ， 即 a2＋b2＞1 2.故选 B. 解法二：特值检验法：取 a＝1 3 ，b＝2 3 ，则 2ab＝4 9 ，a2＋b2＝5 9 ， ∵5 9 ＞1 2 ＞4 9 ＞1 3 ，∴a2＋b2 最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设 a＞0，b＞0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1 a ＋1 b 的 最小值为 ( ) A．8 B．4 C．1 D．1 4 [答案] B [解析] 根据题意得 3a·3b＝3，∴a＋b＝1， ∴1 a ＋1 b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当 a＝b＝1 2 时“＝”成立．故选 B. 5．设 a、b∈R＋，若 a＋b＝2，则1 a ＋1 b 的最小值等于 ( ) A．1 B．3 C．2 D．4 [答案] C [解析] 1 a ＋1 b ＝1 2 1 a ＋1 b (a＋b) ＝1＋1 2 b a ＋a b ≥2，等号在 a＝b＝1 时成立． 6．已知 x>0，y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、y 成等比数列，则a＋b2 cd 的最小值 是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a＋b2 cd ＝x＋y2 xy ＝x y ＋y x ＋2≥2 y x·x y ＋2＝4.当且仅当 x＝y 时取等号，∴所求最小值为 4. 二、填空题 7．若 00， ∴x(1－x)≤[x＋1－x 2 ]2＝1 4 ， 等号在 x＝1－x，即 x＝1 2 时成立， ∴所求最大值为1 4. 8．已知 t>0，则函数 y＝t2－4t＋1 t 的最小值是________． [答案] －2 [解析] ∵t>0，∴y＝t2－4t＋1 4 ＝t＋1 t －4≥2 t·1 t －4＝－2，当且仅当 t＝1 t ，即 t＝1 时， 等号成立． 三、解答题 9．已知 x>0，y>0. (1)若 2x＋5y＝20，求 u＝lgx＋lgy 的最大值； (2)若 lgx＋lgy＝2，求 5x＋2y 的最小值． [解析] (1)∵x>0，y>0， 由基本不等式，得 2x＋5y≥2 2x·5y＝2 10· xy. 又∵2x＋5y＝20， ∴20≥2 10· xy， ∴ xy≤ 10，∴xy≤10， 当且仅当 2x＝5y 时，等号成立． 由 2x＝5y 2x＋5y＝20 ， 解得 x＝5 y＝2 . ∴当 x＝5，y＝2 时，xy 有最大值 10. 这样 u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1. ∴当 x＝5，y＝2 时，umax＝1. (2)由已知，得 x·y＝100， 5x＋2y≥2 10xy＝2 103＝20 10. ∴当且仅当 5x＝2y＝ 103，即当 x＝2 10， y＝5 10时，等号成立． 所以 5x＋2y 的最小值为 20 10. 10．求函数 y＝x2＋a＋1 x2＋a 的最小值，其中 a>0. [解析] 当 01 时，令 x2＋a＝t(t≥ a)， 则有 y＝f(t)＝t＋1 t. 设 t2>t1≥ a>1，则 f(t2)－f(t1)＝t2－t1t1t2－1 t1t2 >0， ∴f(t)在[ a，＋∞)上是增函数． ∴ymin＝f( a)＝a＋1 a ，此时 x＝0. 综上，当 01，x＝0 时，ymin＝a＋1 a . 一、选择题 1．设 a、b∈R，且 ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab C.1 a ＋1 b> 2 ab D．b a ＋a b ≥2 [答案] D [解析] a＝b 时，A 不成立；a、b<0 时，B、C 都不成立，故选 D. 2．若 02ab，a＋b>2 ab，a>a2，b>b2， ∴a＋b>a2＋b2，故选 D. 解法二：取 a＝1 2 ，b＝1 3 ，则 a2＋b2＝13 36 ，2 ab＝ 6 3 ，2ab＝1 3 ，a＋b＝5 6 ，显然5 6 最大． 3．某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b，这两年的平均增 长率为 x，则 ( ) A．x＝a＋b 2 B．x≤a＋b 2 C．x＞a＋b 2 D．x≥a＋b 2 [答案] B [解析] ∵这两年的平均增长率为 x ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋1＋b 2 ＝1＋a＋b 2 ，∴x≤a＋b 2 ， 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．∴选 B. 4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y 为正数)，若 a⊥b，则 xy 的最大值是 ( ) A.1 2 B．－1 2 C．1 D．－1 [答案] A [解析] 由已知得 4(x－1)＋2y＝0，即 2x＋y＝2. ∴xy＝x(2－2x)＝2x2－2x 2 ≤1 2 ×(2x＋2－2x 2 )2＝1 2 ，等号成立时 2x＝2－2x，即 x＝1 2 ，y＝1， ∴xy 的最大值为1 2. 二、填空题 5．已知2 x ＋3 y ＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是________． [答案] 6 [解析] 2 x ＋3 y ≥2 6 xy ，∴2 6 xy ≤2，∴xy≥6. 6．已知 x＜5 4 ，则函数 y＝4x－2＋ 1 4x－5 的最大值是________． [答案] 1 [解析] ∵x＜5 4 ，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋ 1 4x－5 ＝4x－5＋ 1 4x－5 ＋3＝3－ 5－4x＋ 1 5－4x ≤3－2＝1， 等号在 5－4x＝ 1 5－4x ，即 x＝1 时成立． 三、解答题 7．已知直角三角形两条直角边的和等于 10 cm，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为 x cm，(0