高考数学模拟试卷3 (1) 13页

- 1 - 华中师范大学第一附属中学 2018 届高三 5 月押题考试 理科数学(37) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合  | lgP y y x  ，集合  | 2Q x y x   ，则 ( )RP Q  ð （ ） A． 2,0 B． ( ,0) C． (0, ) D． ( , 2)  2.已知i 为虚数单位，若复数 1 aiz i   （ a R ）的虚部为 1 ，则 a （ ） A． 2 B．1 C． 2 D． 1 3.定义在 R 上的函数 | |1( ) ( ) 12 x mf x   为偶函数，记 0.5(log 2)a f ， 2(log 1.5)b f ， ( )c f m ，则（ ） A． c a b  B． a c b  C． a b c  D． c b a  4.已知向量 a  ，b  满足| | 2a  ，| | 4b  ， ( )a a b    ，则向量 a  在b  方向上的投影为（ ） A． 1 B． 2 C． 2 D．1 5.已知变量 x ， y 满足 2 2 0, 1, 1 0, x y x x y          则 2 1 x y x    的取值范围是（ ） A． 1 ,22      B． 3 ,32      C． 1 9,2 4      D． 1 ,32      6.已知 1F ， 2F 分别是双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点，若点 2F 关于 双曲线C 的一条渐近线的对称点为 M ，且 1| | 3F M  ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A． 3 2 B．3 C． 3 3 2 D．3 3 7.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面 为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体 称之为鳖臑．已知在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ， 1AC  ， 2BC  ， 1 3AA  ， - 2 - 截面 1 1AB C 将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径 之比为（ ） A． 2:1 B．1: 2 C．1:1 D． 2:3 8.已知 a ，b R ，则 | |a b 是 | | | |a a b b 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为（ ） A． 1009 B．1009 C． 1008 D．1008 10.已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为 2r ，宽为 r ，圆半径为 r ，则该几 何体的体积和表面积分别为（ ） A． 34 3 r ， 2(3 2) r B． 32 3 r ， 2(3 2) r C． 34 3 r ， 2(4 2) r D． 32 3 r ， 2(4 2) r 11.向量 (sin( ),sin )4a x x   ， (sin( ),sin 2 3 cos )4b x x x     （ 0  ），函数 1( ) 2g x a b    的两个相邻的零点间的距离为 2  ，若 0x x （ 00 2x   ）是函数 ( )f x a b   的一个零点，则 0cos2x 的值为（ ） - 3 - A． 3 5 1 8  B． 3 5 1 8  C．1 3 5 8  D． 15 3 8  12.若曲线 1C ： 2y ax 与曲线 2C ： xy e （其中无理数 2.718e  …）存在公切线，则整数 a 的最值情况为（ ） A．最大值为 2，没有最小值 B．最小值为 2，没有最大值 C．既没有最大值也没有最小值 D．最小值为 1，最大值为 2 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 5(1 )(1 2 )ax x  的展开式中， 3x 的系数为 20 ，则实数 a  ． 14.已知平面区域  ( , ) | 0 ,0 1x y x y      ，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线 2cosy x 下方的概率为 ． 15.设抛物线C ： 2 4x y 的焦点为 F ，其准线与 y 轴交于点 M ，过点 M 作直线l 交抛物线C 于 A ， B 两点，若 90AMB   ，则| |AF  ． 16.如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ，AD DC ， 1AB AD  ， 2 3BAD   ， 射线 BC 上的两个动点 E ，F 使得 DC 平分 EDF （点 E 在线段 BC 上且与 B 、C 不重合）， 则当 4BF BE 取最小值时， tan EDF  ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 *n N ，设 nS 是单调递减的等比数列 na 的前 n 项和， 2 1 2a  且 4 4S a ， 6 6S a ， 5 5S a 成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足 2log ( 1)n nb a n      ，数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT 满足 - 4 - 2018 2018T  ，求  的值． 18.如图 1，在 Rt ABC 中， 90ABC  ，D ，E 分别为线段 AB ， AC 的中点， 4AB  ， 2 2BC  ．以 DE 为折痕，将 ADE 折起到图 2 中 'A DE 的位置，使平面 'A DE  平面 DBCE ，连接 'A C ， 'A B ，设 F 是线段 'A C 上的动点，且 ' CF CA  ． （1）证明： BE  平面 'A DC ； （2）试确定  的值，使得二面角 F BE C  的大小为 45 ． 19.某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大 量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60) 内，则 该产品视为合格品，否则视为不合格品．图 1 是设备改造前的样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后的样本的频数分布表． （1）完成 2 2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与 设备改造有关： - 5 - 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 （2）根据图 1 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在 [30,40) 内的定为一等品，每件售价 180 元；质量指标值落在[20,30) 或[40,50) 内的定为二 等品，每件售价 150 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元．根据频数分布表 1 的 数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中 抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X （单 位：元），求 X 的分布列和数学期望． 附： 2 0( )P K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      20.已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     ，过 1C 上一动点 P 作 PM x 轴，垂足为点 M ．当 点 N 满足 6 3MN MP  时，点 N 的轨迹 2C 恰是一个圆． （1）求椭圆 1C 的离心率； （2）若与曲线 2C 切于T 点的直线l 与椭圆 1C 交于 A ，B 两点，且当 / /AB x 轴时，| | 2AB  ， 求 AOB 的最大面积． 21.已知函数 21( ) ln(1 )2f x x m x   ，其中 m R ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若函数 ( )f x 存在两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，证明： 1 2 ( )1 1 ln 2 04 2 f x x    ． - 6 - 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位， 已知直线l 的参数方程为 cos , 2 sin x t y t       （t 为参数， 0    ），曲线C 的极坐标方程为 2cos 4sin   ． （1）若 6   ，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 A ， B 两点，当 变化时，求| |AB 的最小值． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 1|f x x a   ( )a R ． （1）若 ( )f x 在 1,2 上的最大值是最小值的 2 倍，解不等式 ( ) 5f x  ； （2）若存在实数 x 使得 1( ) ( 1)2f x f x  成立，求实数 a 的取值范围． - 7 - 华中师范大学第一附属中学 2018 届高三 5 月押题考试理科数学答案(37) 一、选择题 1-5: DCCAB 6-10: BCABB 11、12： AC 二、填空题 13. 3 2 14. 1 2 15. 2 16. 3 三、解答题 17.解：（1）设数列 na 的公比为 q ，由 6 6 4 4 5 52( )S a S a S a     ， 得 6 5 6 4 6 4 5( ) ( ) 2S S S S a a a      ， 即 6 44a a ，∴ 2 1 4q  ， ∵ na 是单调递减数列，∴ 1 2q  ， 又∵ 2 1 2a  ，∴ 1 1a  ，∴ 11( )2 n na  ． （2）由（1）得 1 2 1log ( ) ( 1) 12 n nb n n       ， ∴    1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1n nb b n n n n                      ， ∴ 2018 1 1 1 2018( ) 20181 2019 2018 (2019 2018)T           ， ∴ 1   或 1 2019   ， ∵ 1   ，∴ 1 2019   ． 18.解：以 D 为坐标原点， DB ， DE ， 'DA 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 各点坐标分别为 (0,0,0)D ， '(0,0,2)A ， (2,0,0)B ， (2,2 2,0)C ， (0, 2,0)E ． （1） ( 2, 2,0)BE   ， (2,2 2,0)DC  ， ' (0,0,2)DA  ， ∵ 4 4 0BE DC      ，∴ BE DC ， ∵ ' 0BE DA   ，∴ 'BE DA ， 又 'DC DA D ，∴ BE  平面 'A DC ． （2）设 'CF CA  ，则 ( 2, 2 2,2)CF    ，∴ (2 2 ,2 2 2 2 ,2 )F     ， - 8 - 设平面 BEF 的法向量为 ( , , )n x y z ， ∵ ( 2, 2,0)BE   ， ( 2 ,2 2 2 2 ,2 )BF      ， ∴ 2 2 0, 2 (2 2 2 2 ) 2 0, x y x y z              取 ( , 2 ,3 2)n     ， 又∵平面 BEC 的法向量为 ' (0,0,1)n  ， ∴ 2 2 3 2 2cos45 23 (3 2)         ，得 23 6 2 0    ， 解得 31 3    ， 又∵ 0 1  ，∴ 31 3    ， ∴ 31 3    时，可使得二面角 F BE C  的大小为 45． 19.解：（1）根据图 1 和表 1 得到 2 2 列联表： 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计 100 100 200 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算得： 2 2 2 ( ) 200 (86 4 96 14) 5000 6.105( )( )( )( ) 182 18 100 100 819 n ad bcK a b c d a c b d               ， ∵ 6.105 6.635 ， - 9 - ∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关． （2）根据图 1 和表 1 可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为 86 43 100 50  ，设备改造后 产品为合格品的概率约为 96 24 100 25  ，显然设备改造后合格率更高，因此，改造后的设备更优． （3）由表 1 知： 一等品的频率为 1 2 ，即从所有合格品产品中随机抽到一件一等品的概率为 1 2 ； 二等品的频率为 1 3 ，即从所有合格品产品中随机抽到一件二等品的概率为 1 3 ； 三等品的频率为 1 6 ，即从所有合格品产品中随机抽到一件三等品的概率为 1 6 ． 由已知得：随机变量 X 的取值为：240,270,300,330, 360， 1 1 1( 240) 6 6 36P X     ， 1 2 1 1 1( 270) 3 6 9P X C     ， 1 2 1 1 1 1 5( 300) 2 6 3 3 18P X C       ， 1 2 1 1 1( 330) 2 3 3P X C     ， 1 1 1( 360) 2 2 4P X     ， ∴随即变量 X 的分布列为： X 240 270 300 330 360 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 ∴ 1 1 5 1 1( ) 240 270 300 330 360 32036 9 18 3 4E X            ． 20.解：（1）设 0 0( , )P x y ， ( , )N x y ，由 PM x 轴知 0( ,0)M x ， ∵ 6 3MN MP  ，∴ 0 0 , 6 .2 x x y y   又∵ P 点在椭圆 1C 上，∴ 2 2 0 0 2 2 1y x a b   ，即 2 2 2 2 3 12 y x a b   ， 又 N 点的轨迹恰是一个圆，那么 2 22 3b a ， 2 2 2 2 2 2 1 3 c a be a a    ， ∵ (0,1)e ，∴ 3 3e  ． - 10 - （2）由（1）知椭圆 1C ： 2 2 2 2 13 2 y x c c   ，圆 2C ： 2 2 22x y c  ． 当 / /AB x 轴时，切点T 为 2C 与 y 轴的交点，即 (0, 2 )T c ， 此时 2AB  ， 2 6 23Ax c  ，即 2 3 2c  ， 故 1C ： 2 23 2 9 0x y   ， 2C ： 2 2 3x y  ． 设直线 AB ： y kx m  （斜率显然存在）， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 由直线l 与 2C 相切知， 2 | | 3 1 m k   ，即 2 23(1 )m k  ， 联立直线l 与椭圆 1C 的方程 2 2 , 3 2 9 0, y kx m x y       得 2 2 2(2 3) 4 2 9 0k x kmx m     ， 其中 2 2 2 2 2 216 4(2 3)(2 9) 12(6 9 2 ) 36 0k m k m k m          ， 有 1 2 2 2 1 2 2 4 ,2 3 2 9 ,2 3 kmx x k mx x k         那么 2 2 2 1 2 2 2 6 1| | 1 | | 1 2 3 2 3 kAB k x x k k k         ， 令 21 k t  （ 1t  ），则 2 6 6| | 12 1 2 tAB t t t    ， 又函数 12y t t   在[1, ) 上单调递增，则 3y  ，故| | 2AB  ， ∴ 1 13 | | 2 3= 32 2AOBS AB      ，即 AOB 的最大面积为 3 ． 21.解：（1）函数 ( )f x 定义域为 ( ,1) ，且 2 '( ) 1 1 m x x mf x x x x       ，1 0x  ， 令 2 0x x m    ， 1 4m   ， 当 0  ，即 1 4m  时， '( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减； 当 0  ，即 1 4m  时，由 2 0x x m   ，解得 1 1 1 4 2 mx   ， 2 1 1 4 2 mx   ， - 11 - 若 10 4m  ，则 1 2 1x x  ，∴ 1( , )x x  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 1 2( , )x x x 时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 2( ,1)x x 时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 若 0m  ，则 1 21x x  ，∴ 1( , )x x  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减； 1 1( ,1)x x 时， '( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 综上所述： 0m  时， ( )f x 的单调递减区间为 1 1 4( , )2 m  ，单调递增区间为 1 1 4( ,1)2 m  ； 10 4m  时， ( )f x 的单调递减区间为 1 1 4( , )2 m  ， 1 1 4( ,1)2 m  ，单调递增区间 为 1 1 4 1 1 4( , )2 2 m m    ； 1 4m  时， ( )f x 的单调递减区间为 ( ,1) ． （2）因为函数 ( )f x 定义域为 ( ,1) ，且 2 '( ) 1 1 m x x mf x x x x       ， ∵函数 ( )f x 存在两个极值点，∴ '( ) 0f x  在 ( ,1) 上有两个不等实根 1x ， 2x ， 记 2( )g x x x m    ，则 1 4 0, 1 1,2 ( 1) (1) 0, m g           ∴ 10 4m  ， 从而由 1 2 1 2 1, , x x x x m     且 1 2x x ，可得 1 1(0, )2x  ， 2 1( ,1)2x  ， ∴ 2 21 1 1 1 2 2 2 2 1 ln(1 )( ) 12 ln(1 )2 x m xf x x m xx x x x        2 1 1 1 1 1 ln(1 )2 (1 ) x x xx     ， 构造函数 2 ( ) ln(1 )2(1 ) xx x xx     ， 1(0, )2x ， 则 2 2 2 2 2'( ) ln(1 ) ln(1 )2(1 ) 1 2(1 ) x x x xx x xx x x           ， - 12 - 记 2 2( ) ln(1 )2(1 ) xp x xx    ， 1(0, )2x ，则 2 3 1'( ) (1 ) 3 x xp x x h     ， 令 '( ) 0p x  ，得 0 3 5 1(0, )2 2x   （ 3 5 1 2 2x   ，故舍去）， ∴ ( )p x 在 0(0, )x 上单调递减，在 0 1( , )2x 上单调递增， 又 (0) 0p  ， 1 1( ) ln 2 02 2p    ， ∴当 1(0, )2x 时，恒有 ( ) 0p x  ，即 '( ) 0x  ， ∴ ( )x 在 1(0, )2 上单调递减， ∴ 1( ) ( ) (0)2 x    ，即 1 1 ln 2 ( ) 04 2 x   ， ∴ 1 2 ( )1 1 ln 2 04 2 f x x    ． 22.解：（1）当 6    时，由直线l 的参数方程 cos , 2 sin , x t y t       消去t 得 3 23y x  ， 即直线l 的普通方程为 3 2 3 0x y   ； 因为曲线过极点，由 2cos 4sin   ，得 2( cos ) 4 sin    ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 4x y ． （2）将直线l 的参数方程代入 2 4x y ，得 2 2cos 4 sin 8 0t t    ， 由题意知 [0, ) ( , )2 2     ，设 A ， B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ， 则 1 2 2 4sin cost t    ， 1 2 2 8 cost t   ， ∴ 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4AB t t t t t t     2 2 2 4sin 32( )cos cos     2 4 2 2 1 1 1 1 14 4 ( )cos cos cos 2 4       ． ∵ [0, ) ( , )2 2     ， 2cos (0,1]  ， 2 1 1cos   ， 当 2cos 1  ，即 0  时，| |AB 的最小值为 4 2 ． - 13 - 23.解：（1）∵  1,2x  ，∴ min 1( ) ( )2f x f a   ， max( ) ( 1) (2) 3f x f f a     ， ∴3 2a a   ，解得 3a   ， 不等式 ( ) 5f x  ，即| 2 1| 2x   ，解得 3 2x  或 1 2x   ， 故不等式 ( ) 5f x  的解集为 3 1| 2 2x x x      或 ． （2）由 1( ) ( 1)2f x f x  ，得 | 4 2 | | 2 1|a x x    ， 令 ( ) | 4 2 | | 2 1|g x x x    ，问题转化为 min( )a g x ， 又 12 3, ,2 1 1( ) 6 1, ,2 2 12 3, ,2 x x g x x x x x               故 min 1( ) ( ) 22g x g   ， 则 2a   ，所以实数 a 的取值范围为 ( 2, )  ．