2020年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 理科数学——02 函数的概念与基本初等函数I（教师版） 25页

专题02 函数的概念与基本初等函数I ‎1．【2020年高考全国I卷理数】若，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则为增函数，因为 所以，‎ 所以，所以.‎ ‎，‎ 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误.‎ 故选：B．‎ ‎【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.‎ ‎2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A．10名 B．18名 ‎ C．24名 D．32名 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，‎ ‎，,故需要志愿者名.‎ 故选：B ‎【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.‎ ‎3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)‎ A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，‎ 又，‎ 为定义域上的奇函数，可排除AC；‎ 当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增，排除B；‎ 当时，，‎ 在上单调递减，在定义域内单调递增，‎ 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.‎ ‎4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）‎ A．60 B．63 ‎ C．66 D．69‎ ‎【答案】C ‎【解析】，所以，则，‎ 所以，，解得.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a0 B．ln(y−x+1)<0 ‎ C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得：，‎ 令，‎ 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，‎ ‎，‎ ‎，，，则A正确，B错误；‎ 与的大小不确定，故CD无法确定.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.‎ ‎7．【2020年高考天津】函数的图象大致为 A B C D ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎8．【2020年高考天津】设，则的大小关系为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.‎ 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：‎ ‎（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当 时，函数递减；‎ ‎（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；‎ ‎（3）借助于中间值，例如：0或1等.‎ ‎9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ‎ A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 ‎【答案】B ‎【解析】因为，，，所以，所以，‎ 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，‎ 则，所以，所以，‎ 所以天.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.‎ ‎10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，‎ 所以在上也是单调递减，且，，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以由可得：‎ 或或.‎ 解得或，‎ 所以满足的的取值范围是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.‎ ‎11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.‎ A．若n=1，则H(X)=0‎ B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C．若，则H(X)随着n的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)‎ ‎【答案】AC ‎【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.‎ 对于B选项，若，则，，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 两者相等，所以B选项错误.‎ 对于C选项，若，则 ‎，‎ 则随着的增大而增大，所以C选项正确.‎ 对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.‎ ‎.‎ 由于，所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，所以D选项错误.‎ 故选：AC ‎【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.‎ ‎12．【2020年高考天津】已知函数若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可，‎ 令，即与的图象有个不同交点.‎ 因为，‎ 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；‎ 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；‎ 当时，如图3，当与相切时，联立方程得，‎ 令得，解得（负值舍去），所以.‎ 综上，的取值范围为.‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ ‎【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.‎ ‎13．【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以等价于，‎ 在同一直角坐标系中作出和的图象如图：‎ 两函数图象的交点坐标为，‎ 不等式的解为或.‎ 所以不等式的解集为：.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.‎ ‎14．【2020年高考北京】函数的定义域是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15．【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是 ‎【答案】A ‎【解析】因为，则，‎ 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，‎ 据此可知选项CD错误；‎ 且时，，据此可知选项B错误.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎16．【2020年高考浙江】已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则 A．a<0 B．a>0 ‎ C．b<0 D．b>0‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以且，设，则零点 为 当时，则，，要使，必有，且，‎ 即，且，所以；‎ 当时，则，，要使，必有.‎ 综上一定有.‎ 故选：C ‎【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.‎ ‎17．【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则的值是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，因为为奇函数，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎1．【2020·湖北省高三其他（理）】函数在的图象大致为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，‎ 故为上的偶函数，故排除B．‎ 又，，排除C、D．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.‎ ‎2．【2020·北京市八一中学高三月考】函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】若，则，在区间上是增函数，符合.‎ 若，因为在区间上是增函数，故，解得.‎ 综上，.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.‎ ‎3．【2020·广东省高三其他（理）】已知偶函数的定义域为R，对，，且当时，，若函数在R上恰有6个零点，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则，所以，‎ 所以，即函数的周期为2.‎ 若恰有6个零点，则，‎ 则的图象与有6个不同的交点，‎ 因为和均为偶函数且，‎ 故的图象与在上有三个不同的交点.‎ 画出函数和的图象如下图所示，由图可知：‎ ‎，得，，得，‎ ‎.‎ ‎（或即，故）‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的应用，考查了利用数形结合法求解已知函数零点个数求参数问题，考查了数学运算能力.‎ ‎4．【2020·北京高三月考】已知函数满足，且，则 A．16 B．8 ‎ C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,且,故,解得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.‎ ‎5．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 ,解得 .‎ 故答案为C．‎ ‎6．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】如图，点P在以为直径的半圆弧上，点P沿着BA运动，记．将点P到A、B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ 所以函数图象大致为D．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题属于中档题．‎ ‎7．【2020·广西壮族自治区高三其他（理）】设函数是奇函数的导函数，，当时，．已知，，，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，∵，∴在上是增函数，‎ 又因为函数是奇函数，，所以，，‎ 所以当时，，所以，当时，，，‎ 又，所以在上是增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查构造函数，由其导函数的正负得出得出所构造函数的单调性，以及考查对数运算，指数式比较大小，属于中档题.‎ ‎8．【2020·北京四中高三开学考试】设是定义在上的奇函数，且 ‎，当时，.则的值为 A．-1 B．-2 ‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵是奇函数,‎ ‎∴关于对称,‎ 又,‎ ‎∴关于对称,‎ ‎∴函数的一个周期为,‎ ‎∴.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性周期性等求解函数值的问题,属于中档题.‎ ‎9．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】函数在的图像大致为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．‎ ‎10．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：‎ 泄露阀门 修复时间 ‎（小时）‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ 需先修复 好的阀门 在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为 A．1.14立方米 B．1.07立方米 ‎ C．1.04立方米 D．0.39立方米 ‎【答案】C ‎【解析】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序必须是，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，‎ 故修复顺序为，‎ 则各阀门泄露有害气体的时间分别为小时，‎ 泄露有害气体的时间共小时，‎ 故泄露的有害气体总量最小为立方米，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.‎ ‎11．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高三下学期高考适应性月考（六）数学（理）试题】已知是定义域为的奇函数，且对任意实数，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据是定义域为的奇函数，由，得到，再利用函数的单调性，将恒成立，转化为恒成立求解.‎ 因为是定义域为的奇函数 所以由，得，‎ 而且单调递增，‎ 所以恒成立，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：A．‎ ‎12．【2020届陕西省咸阳市高三第三次高考模拟数学(理)试题】若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则 A． e B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为数列为等差数列，且，所以；‎ 又为等比数列，且，所以，所以；‎ 又，所以，‎ 所以函数的最小正周期为4，‎ 又，‎ 所以 ，即.‎ 故选：A．‎ ‎13．【2020届安徽省安庆市高三下学期第三次模拟数学(理)试题】定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题设可知，当时，，故，‎ 同理可得：在区间上，，‎ 所以当时，.‎ 作函数的图象，如图所示.‎ 在上，由，得.‎ 由图象可知当时，.故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.‎ ‎14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试数学（理）试题】函数，则关于函数的说法不正确的是（ ）‎ A．定义域为 B．值域为 C．在上为增函数 D．只有一个零点 ‎【答案】B ‎【解析】，的定义域为，值域为，且对于时，明显地，在R上为增函数，且，只有一个零点．故选B．‎ ‎15．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是 A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】当,,‎ 当且仅当时,等号成立；‎ 当时,为二次函数,要想在处取最小,‎ 则对称轴要满足,且,‎ 即,解得,‎ 故选:BCD ‎【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.‎ ‎16．【2020·浙江省高三其他】函数在区间上的最大值是7，则实数a的值为________．‎ ‎【答案】或4‎ ‎【解析】由二次函数的图象分析知，在上的最大值只能在，1，2处取得．‎ ‎①若在处取得最大值7，则，解得或-10，经检验不符合题意，故；‎ ‎②若在处取得最大值7，则，得或，经检验不合题意，故；‎ ‎③若在处取得最大值7，则，，经检验，均不符合题意，舍去．‎ 综上，或 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查函数的最值问题，主要考查考生的化归与转化能力，属于中档题．‎ ‎17．【2020·江苏省高三月考】已知函数，若，则的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由时，是减函数可知，‎ 当，则，‎ 所以，由得 ‎，解得，‎ 则.‎ 故答案为：. ‎ ‎18．【2020·全国高三月考（理）】2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：，，，）.‎ ‎【答案】199‎ ‎【解析】设过x天能达到最初的16000倍，由已知，，又，所以过199天能达到最初的16000倍.‎ 故答案为：199.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.‎ ‎19．【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位 ‎：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．[来源:学科网]‎ ‎（Ⅰ）求的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎ ‎ 当时，；‎ 当时， ‎ 当且仅当时，即时等号成立．‎ 因为，所以当时，．[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．‎