四川省成都市蓉城名校联盟2020届高三第二次联考数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 集合，是数集，集合是一元二次不等式解的集合，求出解集，与集合的交集运算求出公共部分.‎ ‎【详解】解：集合，‎ 集合，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算， 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.‎ ‎2.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果.‎ ‎【详解】解：，‎ - 23 -‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.‎ 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：‎ ‎(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；‎ ‎(2)对分子、分母分别进行乘法运算；‎ ‎(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．‎ 复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．‎ ‎3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.‎ 考点：分层抽样．‎ ‎4.已知实数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.‎ ‎【详解】解：对于实数， ，不成立 对于不成立．‎ 对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．‎ 对于指数函数单调递减性质，因此不成立． ‎ - 23 -‎ 故选：．‎ ‎【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．‎ ‎5.已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解.‎ ‎【详解】解：命题，即: ，‎ 是的必要不充分条件，‎ ‎，‎ ‎，解得．实数的取值范围为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：‎ ‎(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．‎ ‎6.若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得 - 23 -‎ ‎【详解】解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，‎ ‎．‎ 为数列的前项和，则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.‎ ‎(1)如果为等差数列，若，则 ．‎ ‎(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.‎ ‎7.已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.‎ ‎【详解】解：对于，当，且，则与的位置关系不定，故错；‎ 对于，当时，不能判定，故错；‎ 对于，若，且，则与的位置关系不定，故错；‎ 对于，由可得，又，则故正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．‎ - 23 -‎ ‎8.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.‎ ‎【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，‎ 抛物线的准线过双曲线的左焦点，‎ ‎．‎ 抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 则双曲线的离心率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．‎ ‎9.如图，在中， ，是上的一点，若，则实数 - 23 -‎ 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.‎ ‎【详解】解：依题： ，‎ 又三点共线，‎ ‎，解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,)‎ ‎10.已知实数满足，则的最小值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】解：因为满足，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.‎ ‎11.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，‎ 对应区域为边长为的正方形，其面积为，‎ 若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，‎ 其面积；则有，解得 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.‎ ‎12.已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.‎ ‎【详解】解： ‎ ‎ ‎ 令，解得对称轴，，‎ 又函数在区间恰有个极值点，只需 ‎ - 23 -‎ 解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.‎ ‎(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.‎ 二、填空题 ‎13.实数满足，则最大值为_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.‎ ‎【详解】解：作出可行域，如图所示，‎ 则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值．‎ 由同理 ‎，，‎ 取最大值．‎ 故答案为： ．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.‎ ‎14.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则其最大内角的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，所以在中最大的内角为角，则由余弦定理，得，故答案为.‎ ‎15.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出 ，利用空间向量夹角公式可得.‎ ‎【详解】直三棱柱中， ‎ 以为原点，在平面中，过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ - 23 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则异面直线与所成角的余弦值为：‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成角空间角.两条异面直线所成角的求法:‎ ‎(1)选好基底或建立空间直角坐标系; (2)设两条异面直线的方向向量为，其夹角为，(3)代入公式求解(其中为异面直线所成的角)．‎ ‎16.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两函数图象上存在关于轴对称点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，‎ 则方程在区间上有解，‎ 即方程在区间上有解，‎ 设函数，其导数，‎ 又由，可得：当时， 为减函数，‎ 当时， 增函数，‎ 故函数有最小值，‎ 又由；比较可得： ，‎ 故函数有最大值，‎ 故函数在区间上的值域为；‎ 若方程在区间上有解，‎ 必有，则有，‎ 即的取值范围是；‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.‎ - 23 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．‎ ‎（1）求这个样本数据的中位数和众数；‎ ‎（2）从样本数据用时不超过分钟的工人中随机抽取个，求至少有一个工人是优秀员工的概率．‎ ‎【答案】（1）中位数为，众数为47．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）茎叶图完全反映所有的原始数据，由茎叶图直接得中位数43，众数47‎ ‎（2）用列举法得到用时不超过分钟的工人中随机抽取个的基本事件总数为21种，和所求至少有一个工人是优秀员工的基本事件数为15种，利用古典概型的概率公式计算可得.‎ ‎【详解】解：由茎叶图得：‎ 中位数为，众数为．‎ 设不超过的工人为，‎ 其中为优秀员工，‎ 从这名工人中随机抽取人基本事件有个，分别为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 23 -‎ 其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有个，‎ 至少有一个工人是优秀员工的概率．‎ ‎【点睛】本题考查利用茎叶图中位数和众数问题及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:‎ ‎（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算 ‎18.如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得.‎ 由问平面，利用等积法转换，利用余弦定理求出，用勾股逆定理证明，，证明平面，得高，再计算 从而得 ‎【详解】证明：取的中点，连接，‎ 是的中点，，‎ - 23 -‎ 又，且，‎ 四边形为平行四边形，则，‎ 又平面平面， ‎ 平面；‎ 解：，‎ ‎，则，‎ ‎，同理，‎ 又，平面，‎ 又平面，，‎ 又，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理及利用等积法求三棱锥的体积. ‎ 判定线面平行的方法：(1)利用线面平行的判定定理(2)利用面面平行的性质定理(3)利用面面平行的性质；‎ 求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.‎ ‎19.已知数列满足对任意都有，其前项和为，且 - 23 -‎ 是与的等比中项，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用判断是等差数列，利用求出，利用等比中项建立方程，求出公差可得.‎ ‎（2）利用的通项公式,求出，用错位相减法求出，最后建立不等式求出最小的正整数.‎ ‎【详解】解：任意都有，‎ 数列是等差数列，‎ ‎，‎ 又是与的等比中项，，设数列的公差为，且，‎ 则，解得，‎ ‎，‎ ‎；‎ 由题意可知 ，‎ ‎①，‎ ‎②，‎ ‎①﹣②得：，‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 由得，，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 满足条件的最小的正整数的值为．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列中，是最基本的两个量，一般可设出和，利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式 ‎20.已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在， 或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.‎ - 23 -‎ ‎（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.‎ ‎【详解】解：设，‎ 由， ，‎ 可得，即为，‎ 由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，‎ 由，可得，可得曲线的方程为；‎ 假设存在过点的直线l符合题意．‎ 当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，‎ 不成立；‎ 当直线的斜率存在时，设方程为，‎ 由，可得，即，‎ 可得，化为，‎ 由可得，‎ 由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，‎ ‎，‎ 则 化为，即为，解得，‎ 所以存在直线符合题意，且方程为或．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数求导，讨论参数范围，解求单增区间，解求单减区间；‎ ‎（2）不等式恒成立问题转化为函数最值问题，，对任意等价于，研究单调性求解.‎ ‎【详解】解： 的定义域为 当时，，故函数在单调递增；‎ 当时， 时，，当时，，故函数在单调递增，在单调递增；‎ 令，则，‎ 对任意等价于，‎ ‎，‎ 当时， ，则存在，使使， ，‎ 在上是减函数，‎ - 23 -‎ 时， ，与条件不符，‎ 当时，由，可知，故，‎ 在上是增函数，‎ 时， ，即；‎ 综上，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数在内单调性的步骤: (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ 不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．‎ 射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出， 再用 得解 ‎【详解】解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：‎ 曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．‎ 设射线与曲线交于不同于极点的点，‎ 所以，解得．‎ 与曲线交于不同于极点的点，‎ 所以，解得，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲](10分)‎ ‎23.设函数．‎ - 23 -‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，‎ 对恒成立，则，‎ 由三角不等式，得求解 ‎【详解】解：当时，不等式即为，‎ 可得或或，‎ 解得或或，‎ 则原不等式的解集为 ‎ 若对任意、都有，‎ 即为， ‎ 由，当取得等号，‎ 则，由，可得，‎ 则的取值范围是 ‎【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎