吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试（期中）数学（理）试题 12页

‎★ 保 密 吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 ‎ 无效。‎ ‎4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 已知集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数 ①；②；③‎ A. ‎ 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎3. 下列向量中不是单位向量的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4. 为了得到函数的图象，可将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ 12‎ C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎5. 设角的始边为轴非负半轴，则“角的终边在第二、三象限”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 等差数列中，，则的值为 A． ‎ B．‎ C．10 D．20‎ ‎7. 已知定义在实数集上的偶函数在区间是单调增函数，若，则实数的取值范围是 A. B. 或 C. D. 或 ‎8. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小 正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为,，且小正方形与大正 方形面积之比为，则的值为 A. B．‎ C． D．‎ ‎9. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10. 某兴趣小组对函数的性质进行研究，发现函数是偶函数，在定义域上满足 ‎，且在区间为减函数．则与的关系为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．设为的内心，延长线段交线段于点，若，则 A. B. ‎ 12‎ C. D. ‎ ‎12. 已知函数，对，使得成立，则的取值范围是 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 已知复数，则________.‎ ‎14. 已知函数且，若，则实数的取值范围 是___________.‎ ‎15. 有一个数阵排列如下：‎ ‎ 1 2 4 7 11 16 22……‎ ‎ 3 5 8 12 17 23…………‎ ‎ 6 9 13 18 24………………‎ ‎ 10 14 19 25……………………‎ ‎ 15 20 26…………………………‎ ‎ 21 27………………………………‎ ‎ 28……………………………………‎ ‎ ………………………………………‎ ‎ 则第40行从左至右第6个数字为　　　　 .‎ 16. ‎ 如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪，经测量 得，在保护草坪的同时，‎ 为了方便游人行走，现打算铺设一条小路（其中点在边 上，点在边上），若恰好将该草坪的面积平分，‎ 则两点间的最小距离为　　　 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 数列前项和为且，‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求值.‎ 12‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，‎ ‎（I）求函数的对称中心；‎ ‎（II）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，分别是内角的对边，，‎ ‎（I） 求角的大小；‎ ‎（II）若，且的面积等于，求的值.‎ 12‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（I） 当时，求函数的单调区间与极值；‎ ‎（II）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知数列的首项，且满足，‎ ‎（I）设，证明是等差数列；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ 12‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数，‎ ‎（I）当时，求函数在点处的切线；‎ ‎（II）若，都有，求正实数的取值范围；‎ ‎（III）当时，曲线上的点处的切线与相切，求满足条件的的个数.‎ 命题、校对：高三数学核心组 吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试 12‎ 理科数学参考答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B C A A A A B B B D 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 1030 16. ‎ 三、解答题 ‎17【解析】‎ ‎（1）由得.................................................1分 两式相减得即..................................2分 ‎，所以..........................................3分 当时为等比数列，且.............................4分 所以的通项公式为...................................5分 （2） 由（1）知 设，则.............................7分 所以是首项为，公比的等比数列.......................................8分 所以...........................10分 ‎18【解析】‎ ‎（1）由题得，‎ ‎ ‎ 12‎ ‎ ……………………………………………………4分 ‎ 令 ，得 ‎ 所以，函数的对称中心为 …………………………………6分 (2) 因为存在，使不等式成立，所以大于的最小值………8分 由，得，‎ 当，即时，取最小值，‎ 所以，则的取值范围为.……………………………………12分 ‎19【解析】‎ ‎（1）由正弦定理得 ‎ 因为，所以 即……………………………2分 化简，得………………………………………………………………………4分 因为，所以……………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，因为，所以由余弦定理，得 ‎，即 化简，得①……………………………………………………………………8分 因为该三角形面积为 所以，即②…………………………………………………………10分 联立①②，解得………………………………………………………………………12分 ‎20【解析】‎ ‎（1）当时， ......................1分 ‎ 令，解得， .................................2分 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 12‎ ‎...................3分 所以，的增区间为，， .................................4分 的减区间为 ........................................5分 的极大值为， ...........................................6分 的极小值为 ............................................7分 ‎（2）依题意： ........................9分 ‎ 又因为，所以， ，.........................................10分 ‎【说明】（1）此处只使用判别式小于等于0 加上a>0的不给分；‎ ‎ （2）若使用变量分离的，需要分类讨论，可以酌情给分；‎ 即 即无解。 所以，不存在满足条件的正实数......................12分 ‎【说明】（1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣1分；‎ ‎ （2）此处若计算结果不正切，不给分；‎ ‎21.【解析】‎ ‎（1）解法一：将等式两边都减去得.........2分 再除以得，即..................................4分 即.且.................................................5分 ‎ 所以是首项为，公差为的等差数列.........................................6分 ‎ 解法二：由得..........................................1分 ‎ 将 代入上式得.....3分 ‎ 因此.且..............................................5分 ‎ 所以是首项为，公差为的等差数列........................................6分 (2) 由（1）知，所以..........................8分 ‎ 则.......................................9分 12‎ 令...........................①‎ ‎.........................②‎ ‎①-②得：...................................10分 即.......................................................11分 所以.................................................12分 ‎【说明】在求时，也可以用，采用累加法求和.其中.‎ ‎22【解析】‎ ‎22. （I）当时，， ..........................................1分 ‎ 即切线方程为 ..........................2分 ‎（II）<方法一>‎ 由，‎ ‎ ..............................................3分 ‎，，即在上单调递增；‎ ‎，，即在上单调递减；‎ 则，..........................................5分 依题意：，所以， .........................6分 ‎<方法二>依题意：，....................................................3分 则，................................................5分 依题意：，所以， .....................................6分 12‎ ‎（III）当时，‎ 则曲线上的点处的切线方程为 ‎ ..................7分 ‎ 设直线与相切于点，即切线方程为...............8分 ‎<方法一>即 ‎，‎ ‎ ......................................9分 ‎，‎ ‎，‎ 所以，，,‎ ‎,‎ ‎ ..............................................10分 ‎ ............................11分 ‎ ‎ 即有两个实根，即满足条件的有两个 .............12分 ‎<方法二>即 ‎，..................................9分 12‎ ‎ ............................................................................10分 ‎...................................................11分 ‎ ................................12分 12‎