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- 2021-06-16 发布
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第
1
课时 指数函数的图象和性质
必备知识
·
自主学习
1.
指数函数
(1)
定义
:
给定正数
a,
且
a≠1
时
,____
是一个定义在实数集上的函数
,
称为指数
函数
.
(2)
性质
:①
定义域是
R,
函数值大于
__;②
图象过定点
(0
,
1).
y=a
x
0
【
思考
】
为什么指数函数的底数
a>0,
且
a≠1?
当
a=0,a=1,a<0
时
,
对自变量
x
的取值有何
影响
?
提示
:
(1)
如果
a=0,
当
x>0
时
,a
x
恒等于
0,
没有研究的必要
;
当
x≤0
时
,a
x
无意义
.
(2)
如果
a<0,
例如
y=(-4)
x
,
这时对于
x= , ,
…
,
该函数无意义
.
(3)
如果
a=1,
则
y=1
x
是一个常量
,
没有研究的价值
.
为了避免上述各种情况
,
所以规定
a>0,
且
a≠1.
2.
指数函数
y=a
x
(a>1)
的图象和性质
(1)
单调性
:
在
R
上是
___
函数
.
当
x
值趋近于正无穷大时
,
函数值趋近于
_________;
当
x
值趋近于负无穷大时
,
函数值趋近于
__.
正无穷大
0
增
(2)
函数
y=a
x
和
y=b
x
(a>b>1)
的关系
.
图象
大小
①
当
x<0
时
,00
时
,a
x
>b
x
>1.
3.
指数函数
y=a
x
(00
时
,_________.
a
x
>b
x
>1
01
图象
性质
(1)
定义域
:R
(2)
值域
:(0,+∞)
(3)
过定点
______,
即
x=0
时
,y=__
(4)
当
x<0
时
,____;
当
x>0
时
,______
(4)
当
x<0
时
,______;
当
x>0
时
,____
(5)___
函数
(5)___
函数
(0,1)
1
y>1
01
减
增
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)y=x
4
是指数函数
. (
)
(2)
指数函数的图象都在
x
轴的上方
. (
)
(3)
函数
y=3
x
的图象在函数
y=2
x
图象的上方
. (
)
提示
:
(1)×.y=x
4
不是指数函数
,
指数函数的底数是常数
.
(2)√.
由指数函数的图象可知
,
图象都在
x
轴的上方
.
(3)×.
由
y=3
x
,y=2
x
的图象可知
,
当
x<0
时
,
函数
y=3
x
的图象在函数
y=2
x
图象的下方
.
2.
函数
y=4
-x
的图象是
(
)
【
解析
】
选
B.
因为
y=4
-x
= ,
故图象为
B.
3.(
教材二次开发
:
例题改编
)
若
0.2
m-1
<0.008,
则实数
m
的取值范围是
.
【
解析
】
因为
0.2
m-1
<0.008,
所以
0.2
m-1
<0.2
3
,
所以
m-1>3,m>4.
答案
:
(4,+∞)
关键能力
·
合作学习
类型一 指数函数的相关概念
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.
若函数
f(x)=(a
2
-2a-2)a
x
是指数函数
,
则
a
的值是
(
)
A.-1 B.3 C.3
或
-1 D.2
2.
已知函数
f(x)
为指数函数
,
且
,
则
f(-2)=
.
3.
函数
y=
的定义域为
.
【
解析
】
1.
选
B.
因为函数
f(x)=(a
2
-2a-2)a
x
是指数函数
,
所以
a
2
-2a-2=1
且
a>0,a≠1,
解得
a=3.
2.
设
f(x)=a
x
(a>0
且
a≠1),
由 得
,
所以
a=3,
又
f(-2)=a
-2
,
所以
f(-2)=3
-2
= .
答案
:
3.
因为函数有意义
,
所以
x
2
+2x-8≥0,
解得
x≤-4
或
x≥2,
所以函数的定义域为
{x|x≤-4
或
x≥2}
答案
:
{x|x≤-4
或
x≥2}
【
解题策略
】
1.
判断一个函数是指数函数方法
(1)
判断的依据是指数函数的定义
,
即函数解析式的结构特征
;
(2)
有些函数需要对解析式变形后判断
,
如
y=
是指数函数
.
2.
求指数函数解析式的步骤
(1)
设指数函数的解析式为
f(x)=a
x
(a>0
且
a≠1).
(2)
利用已知条件求底数
a.
(3)
写出指数函数的解析式
.
【
补偿训练
】
指数函数
f(x)=a
x
的图象经过点
(2,4),
则
f(-3)
的值是
.
【
解析
】
由题意知
4=a
2
,a>0
且
a≠1,
所以
a=2,
因此
f(x)=2
x
,
故
f(-3)=2
-3
= .
答案
:
类型二 利用指数函数的单调性比较大小
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
比较下列各数的大小
.
(1)0.6
-1.2
和
0.6
-1.5
;
(2)4
0.9
,8
0.61
和
【
思路导引
】
(1)
根据指数函数
y=0.6
x
的单调性比较
;
(2)
根据指数函数
y=2
x
的单调性比较
;
【
解析
】
(1)
因为函数
y=0.6
x
在
R
上是减函数
,
且
-1.2>-1.5,
所以
0.6
-1.2
<0.6
-1.5
.
(2)4
0.9
=2
1.8
,8
0.61
=2
3×0.61
=2
1.83
, =2
1.5
,
因为
y=2
x
在
R
上是增函数
,
所以
2
1.83
>2
1.8
>2
1.5
,
即
8
0.61
>4
0.9
> .
【
解题策略
】
比较幂的大小的方法
1.
同底数幂比较大小时构造指数函数
,
根据其单调性比较
.
能化成同底数幂的先化同底数幂
,
再比较
;
2.
当底数不同时可以借助图象
,
利用图象之间的关系比较
.
【
跟踪训练
】
比较下列两个数的大小
.
【
解析
】
因为指数函数
y=
在
R
上是减函数
,
且
0.3<0.5,
所以
类型三 指数函数性质的简单应用
(
直观想象、逻辑推理
)
角度
1
解不等式
(
方程
)
【
典例
】
1.
不等式
<2
-2x
的解集是
.
2.
已知方程
4
2x-3
=128,
求实数
x
的值
.
【
思路导引
】
1.
先将底数统一
,
再利用单调性转化为一元二次不等式求解
.
2.
先化同底
,
再转化为一次方程求解
.
【
解析
】
1.
因为
<2
-2x
,
所以
< ,
因为
y=
在
R
上是减函数
,
所以
x
2
-3>2x,
解得
x>3
或
x<-1,
所以不等式的解集是
{x|x>3
或
x<-1}.
答案
:
{x|x>3
或
x<-1}
2.
因为
4
2x-3
=2
4x-6
,128=2
7
,
所以
4x-6=7,
解得
x= .
【
变式探究
】
将本例
1
中的不等式变为
0,
且
a≠1).
试求不等式的解集
.
【
解析
】
当
02x,
解得
x>3
或
x<-1,
所以不等式的解集是
{x|x>3
或
x<-1}.
当
a>1
时
,y=a
x
在
R
上是增函数
,x
2
-3<2x,
解得
-10,
且
a≠1)
的值域
先求出
t=f(x)
的范围
[b,c],
根据函数
y=a
t
的单调性
,
求
t∈[b,c]
的值域
.
【
题组训练
】
1.
设
x<0
且
1a
2x-1
(a>0,
且
a≠1)
中
x
的取值范围
.
【
解析
】
对于
a
4x+5
>a
2x-1
(a>0,
且
a≠1),
当
a>1
时
,
有
4x+5>2x-1,
解得
x>-3;
当
01
时
,x
的取值范围为
{x|x>-3};
当
00
且
a≠1
【
解析
】
选
C.
若函数
y=(a-2)a
x
是指数函数
,
则
a-2=1,
解得
a=3.
2.
函数
f(x)=( )
x
在区间
[1,2]
上的最大值是
(
)
A. B. C.3 D.2
【
解析
】
选
C.
函数
f(x)
是增函数
,
所以当
x=2
时函数
f(x)
取得最大值为
3.
3.(
教材二次开发
:
例题改编
)
下列判断正确的是
(
)
A.1.7
2.5
>1.7
3
B.0.8
2
<0.8
3
C.π
2
< D.0.9
0.3
>0.9
0.5
【
解析
】
选
D.
因为
y=0.9
x
在定义域上是减函数
,0.3<0.5,
所以
0.9
0.3
>0.9
0.5
.
4.
若指数函数
f(x)
的图象经过点
(2,16),
则
f =
.
【
解析
】
设
f(x)=a
x
(a>0,
且
a≠1),
依题意有
a
2
=16,
得
a=4,
故
f(x)=4
x
,
所以
f =
答案
:
5.
若函数
f(x)=2
x
的值域是
[4,+∞),
则实数
x
的取值范围为
.
【
解析
】
函数
f(x)=2
x
在定义域内为增函数
,
因为
2
x
≥4,
所以
x≥2.
所以实数
x
的取值范围为
[2,+∞).
答案
:
[2,+∞)
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