北师大版高三数学复习专题-导数及其应用课件-第3章第3节 71页

走向高考 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 高考总复习 导数及其应用 第三章 第三节　导数在函数最值及生活实 际中的应用 第三章 课前自主导学2 课 时 作 业4 高考目标导航1 课堂典例讲练3 高考目标导航 考纲要求 命题分析 1.会求闭区间 上函数的最大值、 最小值(其中多项式 函数一般不超过三 次)． 2．会利用导数 解决某些实际问题. 应用导数求函数的最值是高考的 重点内容，题型以解答题为主．除考 查导数的知识外还与其它知识如不等 式、数列、解析几何等联系，难度为 中高档题． 预测2016年高考仍然突出导数的 工具性，重点考查导数与函数的单调 性、极值、最值等问题，突出转化与 化归、分类讨论和数形结合等思想方 法的考查. 课前自主导学 1.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)，在[a，b]上________有最大值与最小值；但在开区间(a， b)内连续的函数f(x)________有最大值与最小值． 必 不一定 (2)求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在[a，b]上连续， 在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如 下： ①求f(x)在(a，b)内的________值； ②将f(x)的各________值与________比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值． 极 极 f(a)，f(b) 2．解决优化问题的基本思路 用函数表示的数学问题 2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最 大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　) A．－37　 B．－29 C．－5　 D．以上都不对 [答案]　A [解析]　f ′(x)＝6x(x－2)， ∵f(x)在(－2,0)上为增加的，在(0,2)上为减少的， ∴当x＝0时，f(x)＝m最大， ∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5. 5．当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的底面半 径为________时，才能使饮料罐的体积最大． 课堂典例讲练 (文 )已知函数 f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a， b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数． (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与 最小值． 利用导数研究最值 [方法总结]　函数极值与最值的区别与联系： 极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某 一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、 最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情 况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大 (小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内 只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． [方法总结]　1.根据最值的定义，求在闭区间[a，b]上连 续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即 不用判断使f ′(x)＝0成立的点是极大值点还是极小值点，直接 将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值． 2．定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值 点，该极值点必为最值点． (文)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． (2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c， f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2， 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数； 当x∈(－2,2)时，f′(x)<0， 故f(x)在(－2,2)上为减函数； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数． 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在 x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16. 由题设条件知16＋c＝28，得c＝12. 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3， f(2)＝c－16＝－4， 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4. (理)(2014·安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其 中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 所以f ′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)， 当xx2时，f ′(x)<0；当x10，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在 (x1，x2)内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0， ①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以 f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． 已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0. (1)求a的值； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2恒成立，求实数k的 最小值． [思路分析]　(1)先求导，得到函数在定义域内的单调性， 得到最小值后解出a的值；(2)将f(x)≤kx2转化为f(x)－kx2≤0，构 造新函数，利用导数求最值，从而求出k的最小值． 利用导数解恒成立问题 [方法总结]　(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、 参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等 式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小； 参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等， 求解时注意分类讨论思想的应用． (2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟 知的导数研究问题． [点评]　在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的范围 时，可令f ′(x)≥0[或f ′(x)≤0]恒成立，解出参数的范围，然后再 检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立，若能成立，则去 掉参数的该值；若不能使f ′(x)＝0恒成立，则参数的范围即为 所求．也可由f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，从中分离出要求的参 数，再进一步通过求最值确定参数的范围． 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. [思路分析]　(1)求单调区间与极值可利用f(x)与f ′(x)的关系 求解；(2)可构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1，通过研究g(x)的性 质进行证明． 运用导数证明不等式问题 (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为 g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0， 所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0， 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. [方法总结]　利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上 恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数 的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技 巧就是找到函数h(x)什么时候可以等于零，这往往就是解决问 题的一个突破口． 某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资 金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)可增加销 售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投 入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ 导数在实际问题中的应用 [规范解答]　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元)，则有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4　(0≤t≤3)， ∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元． 即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最 大． [方法总结]　1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建 立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决．注 意检验结果与实际是否相符． 2．实际问题中的最值 根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则 函数的极值就是最值． 转化与化归思想在导数中的应用 从近两年高考试题看，导数与方程、函数零点、不等式的 交汇综合，以及利用导数研究生活中的优化问题，是考查的热 点，并且常考常新，在解决问题的过程中经常采取转化与化归 的思想方法．题型以解答题为主，综合考查学生分析问题、解 决问题的能力． [方法总结]　所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解 决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进 而得到解决的一种方法，一般总是将复杂的问题通过变换转化 为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问 题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那 么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端 点的函数值比较． 三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点， 要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体” 概念 ，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条 件． 如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导； ②f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点． (3)若y＝f(x)可导，则f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要 条件． 课 时 作 业 （点此链接）