高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数章末整合课件新人教B版必修第二册 45页

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 章末复习课 章 末 整 合 要点回顾 专题突破 要点回顾 网络构建 1 ． 指数函数的图像和性质 核心归纳 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 值域 (0 ，＋ ∞ ) 性质 过定点 (0,1) ，即 x ＝ 0 时， y ＝ 1 当 x ＞ 0 时， y ＞ 1 ； 当 x ＜ 0 时， 0 ＜ y ＜ 1 当 x ＞ 0 时， 0 ＜ y ＜ 1 ； 当 x ＜ 0 时， y ＞ 1 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函数 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数 注意： (1) 对于 a ＞ 1 与 0 ＜ a ＜ 1 ，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用分类讨论思想． (2) a ＞ 1 时， a 值越大，图像向上越靠近 y 轴，递增速度越快； 0 ＜ a ＜ 1 时， a 值越小，图像向上越靠近 y 轴，递减速度越快． (3) 在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：在 y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令 x ＝ 1 时， y ＝ a 去理解，如图所示． 2 ． 对数函数的图像和性质 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 定义域 (0 ，＋ ∞ ) 值域 R 性质 当 x ＝ 1 时， y ＝ 0 ，即图像过定点 (1,0) 当 x ＞ 1 时， y ＞ 0 ； 当 0 ＜ x ＜ 1 时， y ＜ 0 当 x ＞ 1 时， y ＜ 0 ； 当 0 ＜ x ＜ 1 时， y ＞ 0 在 ( 0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数 3. 指数函数与对数函数的关系 对数函数 y ＝ log a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 与指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠1) 互为反函数，其图像关于直线 y ＝ x 对称 ( 如图 ) ， 4 ． 幂函数的图像和性质 下表是一些常见的幂函数的性质： 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 y ＝ x 0 { x | x ≠ 0} {1} 无 偶 y ＝ x R R 增 奇 y ＝ x 2 R { y | y ≥ 0} [0 ，＋ ∞ ) 增 ( － ∞ ， 0) 减 偶 y ＝ x 3 R R 增 奇 y ＝ x － 1 { x | x ≠ 0} { y | y ≠ 0} ( － ∞ ， 0) 减 (0 ，＋ ∞ ) 减 奇 结合以上常见的幂函数，可得 y ＝ x α ( a ∈ R ) 的性质如下： (1) 所有的幂函数在 (0 ，＋∞ ) 上都有意义，并且图像都通过点 (1,1) ． (2) 如果 α ＞ 0 ，则幂函数的图像过原点，并在区间 [0 ，＋∞ ) 上为增函数． (3) 如果 α ＜ 0 ，则幂函数在区间 (0 ，＋∞ ) 上是减函数，在第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴，当 x 趋于＋∞时，图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴． (4) 当 α 为奇数时，幂函数为奇函数；当 α 为偶数时，幂函数为偶函数． 专题突破 指数运算、对数运算是两个重要的 知识点 ，不仅是本章的主要考点，也是高考的必考内容．对于指数运算，首先，要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为分数指数；其次，若出现分式，则要注意分子、分母的因式分解，以达到约分的目的．对数运算要注意公式应用过程中范围的变化，保证前后的等价性．能熟练运用对数的运算法则及换底公式等化简计算． 指数与指数幂运算，对数与对数运算 专题 一 　　　　　已知 2 a ＝ 3 b ＝ k ( k ≠1) ，且 2 a ＋ b ＝ ab ，则实数 k 的值为 ( 　　 ) A ． 6 　　 B ． 9 C ． 12 　　 D ． 18 D 　 典例 1 典例 2 指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图像与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，记熟性质．由于指数函数 y ＝ a x ，对数函数 y ＝ log a x ( a ＞ 0 ， a ≠1) 的图像与性质都与 a 的取值有密切的联系， a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在 a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论． 指数函数和对数函数的图像和性质 专题 二 典例 3 D 　 典例 4 [ 分析 ] 　 先用换元法求出 f ( x ) 的表达式，再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性，然后利用以上结论求解． 数形结合是高中数学中的一种重要的数学思想方法，这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性原则． 数形结合思想 专题 三 　　　　　方程 log 2 ( x ＋ 4) ＝ 3 x 解的个数是 ( 　　 ) A ． 0 个　　　　　　 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 [ 解析 ] 　 在同一坐标系中画出函数 y ＝ log 2 ( x ＋ 4) 及 y ＝ 3 x 的图像，如图所示．由图像可知，它们的图像有两个交点，故选 C ． C 　 典例 5 规律方法： “ 数形结合 ” 是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题方法的一种数学思想．通常包括 “ 以数解形 ” 和 “ 以形助数 ” 两方面． 通过 “ 以数解形 ” 或 “ 以形助数 ” ，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，数形结合兼数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是基本的数学方法． 典例 6 a ＜ c ＜ b 　 分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决，化成部分从而增加题设条件，这是解分类讨论问题的指导思想． 分类讨论思想 专题 四 典例 7 [ 分析 ] 　 本题是函数性质的综合应用，利用奇偶性和单调性分析，对 a 进行讨论，求出解集． 　　　　 已知 f ( x ) ＝ 1 ＋ log x 3 ， g ( x ) ＝ 2log x 2 ，试比较 f ( x ) 和 g ( x ) 的大小． 典例 8 数学问题中，已知条件是结论成立的保证，但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难于解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向要求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作，变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中的隐含因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决． 等价转化思想 专题 五 典例 9 换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．本章中，常设 u ＝ log a x 或 u ＝ a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题，特别要注意换元后 u 的取值范围． 换元思想 专题 六 典例 10 　　　　　 解方程 log x － log 5 x 2 － 3 ＝ 0 ． [ 分析 ] 　 若设 log 5 x ＝ u ，则方程可化为一元二次方程 u 2 － 2 u － 3 ＝ 0 ，解此方程求出 u ，即可求出相应的 x 的值． 典例 11