高中数学第二章数列2_1_2数列的递推公式选学学案新人教B版必修51 3页

2.1.2 数列的递推公式(选学) 1．体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式． 1．数列的递推公式 如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一 项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 ______公式． (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是 关于 n 的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换 n，从而可以求出数列的各项． 【做一做 1】数列 2,4,6,8,10，…的递推公式是( )． A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．an＝an－1＋2，a1＝2(n≥2) D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2) 2．通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项 an 是序号 n 的函数式 an＝f(n) 都是给出数列的方法，可求出数 列中任意一项递推公式 已知 a1(或前几项)及相邻项(或 相邻几项)间的关系式 【做一做 2－1】已知在数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则{an}的通项公式是 ( )． A．3n B．2n C．n D．1 2 n 【做一做 2－2】在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且 an＋1－an＝1＋(－1)n(n≥2)，则 a10＝ ________. 一、通项公式与递推公式 剖析：递推公式是：已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的 任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系，如果 可以用一个公式 an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的 关系． 对于通项公式，只要将公式中的 n 依次取值 1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公 式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化 为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列． 递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知 道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化． 二、教材中的“？” (1)你能猜想出例 1 中这个数列的通项公式吗？ 剖析：数列{an}的通项公式为 an＝ 2 3－2n . (2)你能比较例 2 中 an 与 an＋1 的大小吗？你能比较 an 与 an＋2 的大小吗？ 剖析：不能比较 an＋1 与 an 的大小． 当 n 为奇数时，an＋2＞an；当 n 为偶数时，an＋2＜an. 题型 由递推公式求通项公式 【例】已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋ 1 n n－1 (n≥2)． (1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式． 分析：(1)中只需利用代入法依次求出 a2，a3，a4，a5 即可； (2)利用下列关系式 ①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1； ② 1 n n－1 ＝ 1 n－1 －1 n . 进行累加与裂项相消即可求出{an}的通项公式． 反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入 计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前 面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面 的项的形式． (2)累加法 当 an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋ a1 累加来求通项公式 an. 1 下列说法错误的是( )． A．递推公式也是数列的一种表示方法 B．an＝an－1，a1＝1(n≥2)是递推公式 C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式 D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)是递推公式 2 已知数列{an}的首项 a1＝1，且 an＝3an－1＋1(n≥2)，则 a4 为( )． A．13 B．15 C．30 D．40 3 已知数列{an}的第 1 项是 1，第 2 项是 2，以后各项由 an＝an－1＋an－2(n＞2)给出，则该 数列的第 5 项等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 4 一个数列{an}的首项 a1＝1，a2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的 2 倍再加上 后一项，请写出构成这个数列的递推公式 an＝________________. 5 已知数列{an}满足an＋1＋an－1 an＋1－an＋1 ＝n(n 为正整数)，且 a2＝6，则数列{an}的通项公式为 an ＝________. 答案： 基础知识·梳理 1．第 1 项 任一项 an an－1 递推 【做一做 1】C 【做一做 2－1】B 【做一做 2－2】10 由题意，知 a10－a9＝1＋(－1)9，a9－a8＝1＋(－1)8，a8－a7＝1＋(－ 1)7，…，a3－a2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得 a10－a2＝8.又因为 a2＝2，所以 a10＝10. 典型例题·领悟 【例】解：(1)a1＝1；a2＝a1＋ 1 2×1 ＝3 2 ； a3＝a2＋ 1 3×2 ＝5 3 ；a4＝a3＋ 1 4×3 ＝7 4 ； a5＝a4＋ 1 5×4 ＝9 5 . (2)由 an＝an－1＋ 1 n(n－1) ，得 an－an－1＝ 1 n(n－1) (n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝ 1 n(n－1) ＋ 1 (n－1)(n－2) ＋…＋ 1 3×2 ＋ 1 2×1 ＋1 ＝( 1 n－1 －1 n )＋( 1 n－2 － 1 n－1 )＋…＋(1 2 －1 3 )＋(1－1 2 )＋1 ＝－1 n ＋1＋1＝2－1 n ＝2n－1 n (n∈N＋)． 随堂练习·巩固 1．C 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知 道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法．an＝an－1(n≥2)与 an ＝2an－1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间 的关系，且都已知 a1，所以都是递推公式． 2．D 利用递推式可逐个求出 a2，a3，a4. 3．C ∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n＞2)， ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 4．2an－1＋an＋1(n≥2) 这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的， 只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意 n 的取值范围． 5．2n2－n