2020_2021学年新教材高中数学第4章指数与对数4 8页

‎4.1　指数 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)‎ ‎2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)‎ ‎3．了解实数指数幂的意义．‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．‎ 我们已经知道，，，，…是正整数指数幂，它们的值分别为，，，…．那么，，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．‎ ‎1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．‎ ‎2．a的n次方根 ‎(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．‎ ‎(2)几个规定：‎ ‎①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝；‎ ‎②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；‎ ‎③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．‎ ‎3．根式的性质 ‎(1)＝0(n∈N*，且n>1)；‎ ‎(2)()＝a(n为大于1的奇数)；‎ ‎(3)()＝|a|＝(n为大于1的偶数)．‎ ‎(4)()n＝a(n∈N*，且n>1，a使得有意义)．‎ - 8 -‎ ‎4．分数指数幂的意义 一般地，我们规定：‎ ‎(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．0的0次幂没有意义．‎ ‎5．有理数指数幂的运算性质 ‎(1)asat＝as＋t；‎ ‎(2)(as)t＝ast；‎ ‎(3)(ab)t＝atbt，‎ ‎(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)16的四次方根为2． (　　)‎ ‎(2)＝π－4． (　　)‎ ‎(3)＝－2． (　　)‎ ‎[提示]　(1)16的四次方根有两个，是±2；(2)＝|π－4|＝4－π；(3)没意义．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．若n是偶数，＝x－1，则x的取值范围为　　　　．‎ ‎[1，＋∞)　[由题意知x－1≥0，∴x≥1．]‎ ‎3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是　　　　．(填序号)‎ ‎(1)＝5；(2)2＝；(3)＝(－2)；(4)3＝．‎ ‎(1)(2)　[根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]‎ ‎4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝　　　　．‎ ‎8　[52x－y＝＝＝＝8．]‎ 根式的性质 ‎【例1】　求下列各式的值．‎ ‎(1)；(2)；(3)；(4)；‎ ‎(5)－，x∈(－3,3)．‎ - 8 -‎ ‎[思路点拨]　利用根式的性质进行求解．‎ ‎[解]　(1)＝－2．‎ ‎(2)＝＝．‎ ‎(3)＝|3－π|＝π－3．‎ ‎(4)＝＝|a3|＝ ‎(5)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，‎ 当－30，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．‎ ‎2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．‎ ‎2．将下列根式化成分数指数幂的形式．‎ 分数指数幂的运算 ‎【例3】　(1)计算：0．064－＋[(－2)3] ＋16－0．75＋|－0．01|；‎ ‎[思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．‎ 指数幂与根式运算的技巧 (1)有理数指数幂的运算技巧 - 8 -‎ ‎①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.‎ ‎②指数的处理：负指数先化为正指数.(底数互为倒数) ‎③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.‎ (2)根式运算技巧 ‎①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算.‎ ‎②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.‎ 条件求值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．x＋x与x＋x－1有什么关系？x＋x－1与x2＋x－2有什么关系？‎ ‎[提示]　x＋x－1＝‎ x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2．‎ ‎2．立方和(差)公式是什么？‎ ‎[提示]　a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，‎ - 8 -‎ a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．‎ ‎【例4】　已知a＋a＝，求下列各式的值：‎ ‎(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．‎ ‎[思路点拨]　考虑到如何由a＋a得到a＋a－1．‎ ‎[解]　(1)将a＋a＝两边平方，‎ 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3．‎ ‎(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，‎ ‎∴a2＋a－2＝7．‎ ‎1．(变结论)在本例条件下，a2－a－2＝　　　　．‎ ‎±3　[令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3．]‎ ‎2．(变条件)若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a