2020-2021学年北师大版数学选修2-3课时作业：第二章　概率 单元质量评估2 11页

第二章单元质量评估(二) 时限：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．离散型随机变量 X 的概率分布列如下： X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 c 则 c 等于( A ) A．0.1 B．0.24 C．0.01 D．0.76 解析：c＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1. 2．某同学通过计算机测试的概率为1 3 ，他连续测试 3 次，其中恰 有 1 次通过的概率为( A ) A.4 9 B.2 9 C. 4 27 D. 2 27 解 析 ： 连 续 测 试 3 次 ， 其 中 恰 有 1 次 通 过 的 概 率 为 P ＝ C13×1 3 × 1－1 3 2＝4 9.故选 A. 3．若 Y～B(n，p)，且 EY＝3.6，DY＝2.16，则此二项分布是 ( B ) A．B(4,0.9) B．B(9,0.4) C．B(18,0.2) D．B(36,0.1) 解析：由题意得 np＝3.6，np(1－p)＝2.16，所以 n＝9，p＝0.4. 4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别 是 0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( C ) A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.04 解析：三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝ 0.04，故三人中至少有一人达标的概率为 1－0.04＝0.96.故选 C. 5．已知η的分布列为 η －1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设ξ＝3η－2，则 Dξ的值为( A ) A．5 B.4 3 C．－2 3 D．－3 解析：Eη＝(－1)×1 2 ＋0×1 3 ＋1×1 6 ＝－1 3 ， Dη＝ －1＋1 3 2×1 2 ＋ 0＋1 3 2×1 3 ＋ 1＋1 3 2×1 6 ＝5 9 ，Dξ＝D(3η－2) ＝32×5 9 ＝5.故选 A. 6．对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不 放回地依次摸出 2 件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正 品的概率是( D ) A.3 5 B.2 5 C. 1 10 D.5 9 解析：记“第一次摸到正品”为事件 A，“第二次摸到正品”为 事件 B，则 P(A)＝ C16C19 C110C19 ＝3 5 ，P(AB)＝ C16C15 C110C19 ＝1 3. 故 P(B|A)＝PAB PA ＝5 9.故选 D. 7．在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不 大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是( A ) A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1) 解析：由题意知 C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，化简得 2(1－p)≤3p， 解得 p≥0.4，又因为 00)，且 EX＝3， DX＝1，那么μ＝3，σ＝1. 解析：若 X～N(μ，σ2)，则 EX＝μ，DX＝σ2. 14．设 X～B(4，p)，且 P(X＝2)＝ 8 27 ，那么一次试验成功的概率 p 等于1 3 或2 3. 解析：P(X＝2)＝C24p2(1－p)2＝ 8 27 ， 即 p2(1－p)2＝ 1 3 2· 2 3 2， 解得 p＝1 3 或 p＝2 3. 15．甲、乙两人进行一场比赛，已知甲在一局中获胜的概率为 0.6，无平局，比赛有 3 种方案： ①比赛 3 局，先胜 2 局者为胜者； ②比赛 5 局，先胜 3 局者为胜者； ③比赛 7 局，先胜 4 局者为胜者． 则方案①对乙最有利． 解析：设三种方案乙获胜的概率分别为 P1，P2，P3，每种方案都 可以看成独立重复试验，则 P1＝C22×0.42＋C12×0.6×0.42＝0.352. P2＝C33×0.43＋C23×0.6×0.43＋C24×0.62×0.43≈0.317. P3 ＝ C 44 ×0.44 ＋ C 34 ×0.44×0.6 ＋ C 35 ×0.44×0.62 ＋ C36×0.44×0.63≈0.290. 由于 P1>P2>P3，所以方案①对乙最有利． 16．在等差数列{an}中，a2＝6，a6＝－2，现从{an}的前 10 项中 随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取三次，假定每次取数 互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰为两个正数和一个负数 的概率为 6 25(用数字作答)． 解析：由题意知，前 10 项为 8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8， －10.从中任取一数，得到正数的概率为 4 10 ＝2 5 ，得到负数的概率为 5 10 ＝1 2 ，三次取数相当于做了 3 次独立重复试验，所以三次取数中，取 出的数恰为两个正数和一个负数的概率为 C23× 2 5 2×1 2 ＝ 6 25. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．) 17．(10 分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规 则规定：答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、200 分， 答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得 300 分的概率； (2)求这名同学至少得 300 分的概率． 解：记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i＝1,2,3)， 则 P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6. (1)这名同学得 300 分的概率 P1 ＝ P(A1 A2 A3) ＋ P( A1 A2A3) ＝ P(A1)P( A2 )P(A3) ＋ P( A1 )P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率为 P2 ＝ P1 ＋ P(A1A2A3) ＝ 0.228 ＋ P(A1)·P(A2)·P(A3) ＝ 0.228 ＋ 0.8×0.7×0.6＝0.564. 18．(12 分)某高二数学兴趣小组有 7 位同学，其中有 4 位同学参 加过“希望杯”高一数学竞赛．若从该小组中任选 3 位同学参加“希 望杯”高二数学竞赛，求这 3 位同学中参加过“希望杯”高一数学竞 赛的人数ξ的分布列． 解：由题意可知，随机变量ξ服从超几何分布， N＝7，M＝4，n＝3. P(ξ＝0)＝C04C33 C37 ＝ 1 35 ， P(ξ＝1)＝C14C23 C37 ＝12 35 ， P(ξ＝2)＝C24C13 C37 ＝18 35 ， P(ξ＝3)＝C34C03 C37 ＝ 4 35. 则随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 19.(12 分)某班从 6 名班干部(其中男生 4 人，女生 2 人)中，任选 3 人参加学校的义务劳动． (1)设所选 3 人中女生人数为 X，求 X 的概率分布； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率； (3)设“男生甲被选中”为事件 A，“女生乙被选中”为事件 B. 求 P(B)和 P(B|A)． 解：(1)X 的所有可能取值为 0,1,2，依题意得 P(X＝0)＝C34 C36 ＝1 5 ， P(X＝1)＝C24C12 C36 ＝3 5 ，P(X＝2)＝C14C22 C36 ＝1 5 ， ∴X 的概率分布如下表所示： X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 (2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C，则 P(C)＝C34 C36 ＝ 4 20 ＝1 5 ， ∴所求概率为 P( C )＝1－P(C)＝1－1 5 ＝4 5. (3)P(B)＝C25 C36 ＝10 20 ＝1 2 ， P(B|A)＝C14 C25 ＝ 4 10 ＝2 5. 20．(12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检 测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的 分布列和均值(数学期望)． 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品” 为事件 A，则 P(A)＝A12A13 A25 ＝ 3 10. (2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X＝200)＝A22 A25 ＝ 1 10 ， P(X＝300)＝A33＋C12C13A22 A35 ＝ 3 10 ， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－ 1 10 － 3 10 ＝ 6 10. 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 6 10 EX＝200× 1 10 ＋300× 3 10 ＋400× 6 10 ＝350. 21．(12 分)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位： mm)对工期的影响如表： 降水量 X X<30 300≤X<7 700≤X<9 X≥90 0 00 00 0 工期延误 天数 Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数 Y 的均值与方差； (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概 率． 解：(1)由题意易得 P(X<300)＝0.3， P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2， P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以 Y 的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以 EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3， DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1 ＝9.8.故工期延误天数 Y 的均值为 3，方差为 9.8. (2)易得 P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概 率，得 P(Y≤6|X≥300)＝P300≤X<900 PX≥300 ＝0.6 0.7 ＝6 7 ， 故在降水量 X 至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概 率是6 7. 22．(12 分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品 后即可抽奖．每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球．在摸出的 2 个球 中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没 有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的 次数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 解：(1)记事件 A1＝{从甲箱中摸出的 1 个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的 1 个球是红球}， B1＝{顾客抽奖 1 次获一等奖}， B2＝{顾客抽奖 1 次获二等奖}， C＝{顾客抽奖 1 次能获奖}． 由题意知，A1 与 A2 相互独立，A1 A 2 与 A 1A2 互斥，B1 与 B2 互斥，且 B1＝A1A2，B2＝A1 A 2＋ A 1A2，C＝B1＋B2. 因为 P(A1)＝ 4 10 ＝2 5 ，P(A2)＝ 5 10 ＝1 2 ， 所以 P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝2 5 ×1 2 ＝1 5 ， P(B2)＝P(A1 A 2＋ A 1A2)＝P(A1 A 2)＋P( A 1A2) ＝P(A1)P( A 2)＋P( A 1)P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) ＝2 5 × 1－1 2 ＋ 1－2 5 ×1 2 ＝1 2. 故所求概率为 P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝1 5 ＋1 2 ＝ 7 10. (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为1 5 ，所以 X～B 3，1 5 . 于是 P(X＝0)＝C03 1 5 0 4 5 3＝ 64 125 ， P(X＝1)＝C13 1 5 1 4 5 2＝ 48 125 ， P(X＝2)＝C23 1 5 2 4 5 1＝ 12 125 ， P(X＝3)＝C33 1 5 3 4 5 0＝ 1 125. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X 的数学期望为 EX＝3×1 5 ＝3 5.