安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com 舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高二文数 ‎（总分：150分时间：120分钟）‎ 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)‎ ‎1.命题“，” 的否定是（　　）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题的否定可得出该命题的否定.‎ ‎【详解】由全称命题的否定可知，命题“，” 的否定为“，”，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A. 1 B. 2‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设公差为，，‎ - 21 -‎ ‎，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎3.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ‎ ‎③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.‎ ‎【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，‎ 又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；‎ 由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.‎ - 21 -‎ 故选D.‎ ‎【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.‎ ‎4.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可．‎ ‎【详解】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：‎ 所以表面积为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以选B - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题．‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.‎ ‎【详解】取双曲线的一个焦点，一条渐近线：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.‎ ‎6.直线被圆所截得的弦长为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得圆心到直线的距离d，由弦长为，可得a的值，可得直线的斜率.‎ ‎【详解】解：可得圆心（0，0）到直线的距离，‎ 由直线与圆相交可得，，可得d=1，‎ 即=1，可得，可得直线方程：，‎ - 21 -‎ 故斜率为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，相对简单.‎ ‎7.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. 2 B. 3 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.‎ ‎【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.‎ ‎【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎8.若x,y满足约束条件的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：‎ 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，‎ - 21 -‎ 由解得C（2，1），‎ 目标函数的最小值为：4‎ 目标函数的范围是[4，+∞）．‎ 故选D．‎ ‎9.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（ ）‎ A. 54 B. 9 C. 12 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 模拟程序框图的运行过程，如下；‎ a=6102，b=2016，‎ 执行循环体，r=54，a=2016，b=54，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，‎ - 21 -‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，‎ 满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18.‎ 本题选择D选项.‎ ‎10.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.‎ ‎【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，‎ 因为是该抛物线上的两点，故，‎ 所以，‎ 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.‎ ‎11.已知，分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，线段的垂直平分线过右顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 线段的垂直平分线过右顶点，则有，结合，可求得.‎ ‎【详解】A，B分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段AB的垂直平分线过右顶点．若椭圆C的焦距为2，‎ 则2b，化简可得a2＝3b2，又a2＝b2+c2，c＝1，所以，2a．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，属于基础题。在解决圆锥曲线问题时，注意图形中的一些线段与的关系是解题基础.‎ ‎12.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】构造新函数,，当时.‎ 所以在上单减，又，即.‎ 所以可得,此时，‎ - 21 -‎ 又为奇函数，所以在上的解集为：.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．‎ ‎【答案】47‎ ‎【解析】‎ 由已知，高二年级人数为 ，采用分层抽样的方法 ，则抽取高二的人数为 .‎ ‎14.总体由编号为的个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第行和第行）选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列开始由左向右读取，则选出来的第个个体的编号为______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从随机数表中依次选出两个数字,大于50的舍去,重复的取一次,依次读取可得出答案.‎ ‎【详解】从随机数表第行的第列开始由左向右依次选出两个数字,大于50的舍去,可得到08,02,14,07,43.‎ - 21 -‎ 故答案为:43.‎ ‎【点睛】本题考查了利用随机数表法求抽样编号的应用问题,属于基础题.‎ ‎15.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，‎ 过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，‎ 由点到直线的距离公式可得，‎ 即的最小值为3.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.‎ - 21 -‎ ‎16.已知函数，若，且，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得出，利用表示、，然后利用导数可求出取值范围.‎ ‎【详解】令，如下图所示：‎ 由图象可知，，由，.‎ 设，则，‎ 令，得，当时，，当时，.‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎，‎ ‎，，所以．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点代数式取值范围的求解，将代数式转化为以某变量为自变量的函数值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ 三.解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.已知函数 - 21 -‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值 ‎（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案 ‎【详解】（1）由已知可得 ‎，‎ 令，可得或 则当时，，当时，‎ 在，上为增函数，在上为减函数 则 ‎,‎ ‎(2)‎ ‎，‎ 由题意可知恒成立，‎ 即 - 21 -‎ 时，，当且仅当时等号成立 故 则 ‎【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题 ‎18.2019年8月8日是我国第十一个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎【答案】（1）平均数37，中位数为35；（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积从而得到平均数，设中位数为，列出关于的方程，即可得答案；‎ ‎（2）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y，利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.‎ ‎【详解】（1）平均数.‎ 前三组频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ - 21 -‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得，即中位数为35.‎ ‎（2）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y.‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）.‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）.‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数、古典概型的概率计算公式，考查数据处理能力，求概率时注意列出所有可能的结果.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证 - 21 -‎ 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.‎ 详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.‎ ‎20.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.‎ - 21 -‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程． （2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．‎ ‎【详解】（1）解：由题意解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，‎ 故设的方程为，，，‎ 联立方程得消去，整理得，‎ ‎∴，，，‎ ‎ ，‎ 当且仅当时等号成立，此时：，‎ - 21 -‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求函数图像在处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）先根据，，，再对分成三种情况讨论，即、、，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，∴.‎ 又由，得所求切线：，‎ 即所求切线为.‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴（i）当时，令，‎ ‎∵在恒成立，‎ ‎∴在单调递减，且，‎ ‎∴在恒成立，∴在恒成立，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，对于任意的均成立；‎ ‎（ii）当时，，，显然不等式不成立；‎ - 21 -‎ ‎（iii）当时，设，，‎ 令，得下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎∴，∴不能使不等式恒成立 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义求切线的方程、不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论要做到不重不漏.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把展开得，两边同乘得 - 21 -‎ ‎,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.(2) 将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.‎ ‎【详解】（1）把，展开得，‎ 两边同乘得①．‎ 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，‎ 即得曲线的直角坐标方程为②．‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 点M的直角坐标为（0，3）．‎ 设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3‎ ‎∴ t1＜0， t2＜0‎ 则由参数t的几何意义即得.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可；‎ - 21 -‎ ‎（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得，再由，展开利用基本不等式求解即可.‎ 详解】（Ⅰ） ‎ ‎ 或 或 ‎ ‎ ,不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ） ,‎ ‎ ,‎ 又,,‎ ‎ , ,‎ 当且仅当 即时取等号,所以.‎ ‎【点睛】绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎