高考新时代NT抗疫爱心卷2020届高三数学（文）试题 Word版含解析 20页

www.ks5u.com 新时代NT抗疫爱心卷（Ⅲ）‎ 文科数学试题 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ ‎2.考试时间为120分钟，满分150分.‎ ‎3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.‎ ‎4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】,，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的除法运算求出，进而得出，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，所以虚部为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ - 20 -‎ ‎3.函数的图象（ ）‎ A. 关于原点对称 B. 关于点对称 C 关于直线对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，解得，得到答案.‎ ‎【详解】函数中，令，解得；‎ 令得，所以的图象关于原点对称，D正确.‎ 代入验证知错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至县区的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率.‎ ‎【详解】某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为，，，，，，六种情况，‎ 甲专家恰好派遣至县区的情况为，，两种情况，‎ - 20 -‎ 则甲专家恰好派遣至县区的概率为：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎5.已知向量，满足，，，则在上的投影为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再根据投影公式计算得到答案.‎ ‎【详解】向量，满足，∴，可得，‎ 则在上的投影为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..‎ ‎6.已知椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，得到，得到离心率 ‎【详解】椭圆的半焦距，‎ - 20 -‎ 双曲线的半焦距，‎ 由题意可得，即，‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率，双曲线焦点，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该几何体是如图所示的三棱锥，计算体积得到答案.‎ ‎【详解】根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，‎ 结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ - 20 -‎ ‎8.已知，满足约束条件，则目标函数最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，计算得到答案.‎ ‎【详解】由已知得到可行域如图：‎ 目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，‎ 由图得知，是距离原点最远的点，由得到，‎ 所以目标函数的最大值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键.‎ ‎9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：‎ - 20 -‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）‎ A. 11 B. 18 C. 22 D. 26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案.‎ ‎【详解】六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，‎ 转化为十进制数的计算为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输入的依次为，，，则输出的为（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图知：、、中最大的数用表示后输出，比较大小得到答案.‎ ‎【详解】由题意可知、、中最大的数用表示后输出，‎ 若输入的，，依次为，‎ 利用指数函数的性质可得，，故最大的数为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，理解程序框图表示的意义是解题的关键.‎ ‎11.已知函数，若函数恰有2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在原点处的切线斜率为，函数在原点处的切线斜率为 - 20 -‎ ‎，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】函数恰有2个零点，即函数与的图象有2个交点，‎ 可知直线过原点，函数的导数是，‎ 可知函数在原点处的切线斜率为，‎ 函数的导数是，可知函数在原点处的切线斜率为，‎ 由图象可知，直线的斜率时有2个零点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出函数图像是解题的关键.‎ ‎12.已知动点到点的距离与到轴距离之和为3，动点在直线上，则两点距离的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 根据定义知动点的轨迹方程为抛物线，计算，根据二次函数性质得到最值.‎ ‎【详解】设动点，‎ 当时，到轴距离与到直线的距离之和为3，‎ 由抛物线定义得：动点满足：，‎ 同理，当时，到轴与到直线的距离之和为3，‎ 由抛物线定理得：动点满足：，‎ 当到直线距离最小时，，‎ 到的距离：，‎ 当时，取最小值.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.‎ ‎13.cos 75°－cos 15°的值等于_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】原式＝cos(45°+30°)－cos(45°－30°)‎ ‎＝cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)‎ ‎＝-2sin 45°sin 30°＝－．‎ ‎14.已知定义在上的函数满足，且的图象与 - 20 -‎ 的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定的图象关于点对称，函数的图象关于点对称，得到答案.‎ ‎【详解】，故，即的图象关于点对称，‎ 又函数满足，则函数的图象关于点对称，‎ 所以四个交点的横纵坐标之和为8.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点对称是解题的关键.‎ ‎15.已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，证明平面，计算体积得到答案.‎ ‎【详解】设圆心为，连结，，由是球的直径，得到，‎ ‎∵，∴，∴平面，‎ ‎∴棱锥的体积为：‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎16.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则面积的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，再根据余弦定理和均值不等式得到，得到面积最值.‎ ‎【详解】因为，‎ 由正弦定理可得，，‎ 即，所以，‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理可得，，‎ 所以，当且仅当时取等号，所以，‎ 所以，即面积的最大值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 三、解答题：本题共6小题，共计70分.‎ - 20 -‎ ‎17.在公差大于1的等差数列中，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案.‎ ‎（2），根据裂项求和计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，且，，成等比数列，∴，‎ 解得：，则，∴；‎ ‎（2），‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，点为线段的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，，得到平面，得到证明.‎ ‎（2）根据计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）证明：∵平面，∴，又在矩形中，，‎ ‎∴平面，∵平面，∴，‎ 又∵，为中点，∴，∴平面，∴；‎ ‎（2）∵点为线段的中点.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直，三棱锥体积，意在考查学生计算能力，推断能力，空间想象能力.‎ ‎19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：‎ 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 ‎80‎ 学习积极性不高 ‎60‎ 合计 ‎200‎ 已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；‎ ‎（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.‎ 附：‎ - 20 -‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中.‎ ‎【答案】（1）表格见解析；（2）有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关，理由见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算学习积极性不高的有人，完善列联表得到答案.‎ ‎（2），对比临界值表得到答案.‎ ‎（3）有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.‎ ‎【详解】（1）根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，‎ 则学习积极性不高的有人，‎ 据此可得：列联表如下：‎ 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 学习积极性不高 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ - 20 -‎ ‎（2）根据题意，由列联表可得：；‎ 故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；‎ ‎（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为、，有3人学习积极性不高，设为、、，从中选取2人，‎ 有、、、、、、、、、，共10种情况，‎ 其中至少有1人学习积极性不高的有、、、、、、、、，共9种情况，‎ 至少有1人学习积极性不高的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，根据得到，得到椭圆方程.‎ ‎（2）直线为，计算得到的坐标，，得到，得到答案.‎ ‎【详解】（1）椭圆，点，，、‎ - 20 -‎ 在椭圆上，直线与直线的斜率之积，‎ 得，由，联立得，‎ 所以椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）证明：由（1）直线为，设的坐标为，‎ 则，解得，‎ 故，‎ 取点，显然，所以，，三点共线，‎ 即直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎（2）时， ，令，求函数的最小值为，得到答案.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ - 20 -‎ 若，则，所以在上单调递增；‎ 若，令，则，‎ 当）时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 综上所述，，函数在上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当时，，即，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，单调递增，，‎ 所以当时，单调递减，当时，，单调递增，‎ 故，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求，的普通方程；‎ ‎（2）设点在曲线上，且对应的，点是曲线上的点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据参数方程，极坐标公式转化得到答案.‎ ‎（2），设，则，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）曲线的方程为（为参数）.转换为直角坐标方程为.‎ 曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.‎ ‎（2）点在曲线上，且对应的，故，则转换为极坐标为，‎ 设，则，‎ 则，‎ 当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，三角形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.‎ ‎（2）题目转化为恒成立，解得答案.‎ - 20 -‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 由，可得或或，‎ 即为或或，‎ 则原不等式的解集为或.‎ ‎（2）函数的解析式可得当时，，即，‎ 即，可得，即在恒成立，‎ 由，可得且，可得.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.‎ - 20 -‎ - 20 -‎