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- 2021-06-16 发布
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第四节 二次函数与幂函数
最新考纲
考情分析
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数一般不单独命题,而常与指数函数,对数函数交汇命题,题型一般为选择题、填空题,主要考查幂函数的图象和性质.
2.对二次函数相关性质的考查是命题热点,大多以选择题、填空题出现.
3.试题难度以中、低档题为主,个别试题难度较大.
知识点一 二次函数的图象和性质
1.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次不等式恒成立的条件:
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<0”;
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”.
知识点二 幂函数
1.定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.常见的五种幂函数的图象和性质比较
1.思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=是幂函数.( × )
(2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.( √ )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( × )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.( × )
解析:(1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=不是幂函数,(1)错.
(3)由于当b=0时,y=ax2+bx+c=ax2+c为偶函数,故(3)错.
(4)对称轴x=-,当-小于a或大于b时,最值不是,故(4)错.
2.小题热身
(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=( C )
A. B.1 C. D.2
解析:因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点,所以α=,所以α=,所以k+α=1+=.
(2)(2020·衡水中学月考)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是( A )
A.f(x)=x2-2x+1 B.f(x)=x2-1
C.f(x)=2x D.f(x)=2x+1
解析:由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象的对称轴为x=≠0.只有选项A中,f(x)=x2-2x+1关于x=1对称.
(3)若函数f(x)=4x2-kx-8在[-1,2]上是单调函数,则实数k的取值范围是(-∞,-8]∪[16,+∞).
解析:由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=,所以要使f(x)在[-1,2]上是单调函数,则有≤-1或≥2,即k≤-8或k≥16.
(4)幂函数f(x)=(m2-4m+4)·xm2-6m+8在(0,+∞)上为增函数,则m的值为1.
解析:由题意知解得m=1.
考点一 幂函数的图象与性质
【例1】 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )
(2)若,则下列正确的是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
(3)已知幂函数f(x)= (m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值为________.
【解析】 (1)设幂函数的解析式为y=xα,
因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),
所以2=4α,解得α=.
所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,
当01},则函数y=f(-x)的图象可以为( )
(2)若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则实数a
的取值范围是________.
【解析】 (1)由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴的交点为(-3,0),(1,0),所以y=f(-x)的图象开口向下,且与x轴的交点为(3,0),(-1,0).故选B.
(2)y=x2-|x|+a是偶函数,图象如图所示.由图可知,若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,需满足a-<10时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=;
③当a<0时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意,舍去.
综上可知,a的值为.
【答案】 (1)D (2)
命题方向3 二次函数的恒成立问题
【例5】 已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是________.
【解析】 f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,
即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-m,
要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1.
由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
【答案】 (-∞,-1)
方法技巧
1.二次函数的图象问题,从开口方向、对称轴、三个“二次”间关系入手.
2.二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型:
(1)定轴动区间,此时讨论对称轴与区间端点的位置关系.
(2)定区间动轴,此时讨论对称轴与区间的位置关系.
注意:对于闭区间上含参数的二次函数的最值,应对系数进行讨论,要遵守分类讨论中的三原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,决不无原则地分类讨论.
3.由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路
(1)数形结合法.ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[x1,x2)恒成立其中f(x)=ax2+bx+c.
(2)分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max,a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
1.(方向1)(2020·辽宁联考)函数y=1-|x-x2|的图象大致是( C )
解析:由题意知,当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以舍去A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以舍去B,故选C.
2.(方向2)若二次函数y=kx2-4x
+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( A )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,2)
解析:二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需≤1,解得k≥2.当k<0时,<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞).
3.(方向2)(2020·四川绵阳模拟)已知函数y=x2-2x+3在[0,m]上的最大值为3,最小值为2,则m的取值范围为( B )
A.[0,1] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
解析:如图,作出函数y=x2-2x+3的图象,由图象可知m的取值范围是[1,2].故选B.
4.(方向3)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.
解析:2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,-3<0,成立;
当x≠0时,a<2-,
因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
当x=1时,右边取最小值,所以a<.
综上,实数a的取值范围是.
一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布
【典例】 已知方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.
(1)当该方程有两个负根时,求实数a的取值范围;
(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a的取值范围.
【解】 由题意知,Δ=4(a+2)2-4(a2-1)=16a+20.
(1)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有两个负根,
∴
解得
即a>1或-≤a<-1.
∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).
(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,
∴f(0)=a2-1<0,解得-1
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