2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性 14页

第三节 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情分析 1.结合具体函数，了解函数奇偶性 的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函 数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期 的含义，会判断、应用简单函数的 周期性. 1.函数的奇偶性与周期性是高考 重要考点，常与函数的单调性、零 点等性质交汇命题． 2．题型多以客观题为主，一般为 容易题，但有时难度也会很大. 知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函 数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇 函数 关于原 点对称 口诀 记忆 奇偶性有特征，定义域要对称； 奇函数，有中心，偶函数，有对称. 奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定 有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D， 其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个 对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时 的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相 反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点二 函数的周期性 1．周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为 这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 1.周期性的四个常用结论 设函数 y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2a； (3)若 f(x＋a)＝ 1 fx ，则函数的周期为 2a； (4)若 f(x＋a)＝－ 1 fx ，则函数的周期为 2a. 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x) 的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对 称．( √ ) (3) 定 义 域 关 于 原 点 对 称 是 函 数 具 有 奇 偶 性 的 一 个 必 要 条 件．( √ ) (4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周 期．( √ ) 解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0)＝0，而偶 函数不管在原点有无定义，都不一定过原点． (2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－x)，可知 x＝a 为对称轴． (3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义 域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性． (4)由周期函数的定义可知正确． 2.小题热身 (1)下列函数中为偶函数的是( B ) A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x 解析：根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于 原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋ ∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数． (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋1 x ， 则 f(－1)等于( A ) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. (3)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0,2]时， f(x)＝2x＋log2x，则 f(2 015)＝( D ) A．5 B.1 2 C．2 D．－2 解析：由 f(x)＝－f(x＋2)，得 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－ (2＋0)＝－2，故选 D. (4)已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的 值是1 3. 解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， ∴a－1＋2a＝0，∴a＝1 3. 又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝1 3. (5)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x) ＝ －4x2＋2，－1≤x<0， x，0≤x<1， 则 f 3 2 ＝1. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，∴f 3 2 ＝f 2－1 2 ＝ f －1 2 ＝－4× －1 2 2＋2＝－1＋2＝1. 考点一 函数的奇偶性 命题方向 1 函数奇偶性的判断 【例 1】 (1)下列函数为偶函数的是( ) A．y＝sinx B．y＝ln( x2＋1－x) C．y＝ex D．y＝ln x2＋1 (2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx C．y＝2x＋1 2x D．y＝x2＋sinx 【解析】 (1)由函数奇偶性的定义知 D 中的函数为偶函数． (2)对于 A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函 数；对于 B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对 于 C，f(－x)＝2－x＋ 1 2－x ＝2x＋1 2x＝f(x)，为偶函数；对于 D，y＝x2＋sinx 既不是偶函数也不是奇函数． 【答案】 (1)D (2)D 命题方向 2 利用奇偶性求函数值或解析式 【例 2】 (2019·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x) ＝－eax.若 f(ln2)＝8，则 a＝________. 【解析】 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数 f(x)为奇函 数，所以当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以 f(ln2)＝e－aln2＝(1 2)a＝8， 所以 a＝－3. 【答案】 －3 命题方向 3 利用奇偶性求参数 【例 3】 (2020·广州调研)已知函数 f(x)＝ 2x 2x－1 ＋a 为奇函数，则 实数 a＝________. 【解析】 易知 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为 f(x) 为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 即 2－x 2－x－1 ＋a＝－ 2x 2x－1 －a，所以 2a＝－ 2x 2x－1 － 2－x 2－x－1 ＝－ 2x 2x－1 － 1 1－2x ＝－1，所以 a＝－1 2. 【答案】 －1 2 方法技巧 与函数奇偶性有关的问题及解题策略 1求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值 求解. 2求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上， 再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 fx的方程组，从而 得到 fx的解析式. 3求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 fx为奇函数⇔f－x＝－fx，fx为偶函数⇔fx＝f－x，列式求解， 也可利用特殊值求解.对于在 x＝0 处有定义的奇函数 fx，可考虑列等 式 f0＝0 求解. 1．(方向 1)下列函数为偶函数的是( B ) A．y＝tan x＋π 4 B．y＝x2＋e|x| C．y＝x|x| D．y＝ln|x|－sinx 解析：对于 A，显然是非奇非偶函数；对于 B，f(－x)＝(－x)2＋e| －x|＝f(x)为偶函数；对于 C，f(－x)＝－x|－x|＝－f(x)为奇函数；对于 D 为非奇非偶函数． 2．(方向 2)已知奇函数 f(x)＝ 3x－ax≥0， gxx<0， 则 f(－2)的值等于－ 8. 解析：因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(0)＝0，则 30－a＝0，∴a＝ 1.∴当 x≥0 时，f(x)＝3x－1，则 f(2)＝32－1＝8，因此 f(－2)＝－f(2)＝ －8. 3．(方向 3)(2020·山东省名校联盟)若函数 f(x)＝x3 1 2x－1 ＋a 为偶 函数，则 a 的值为1 2. 解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3( 1 2x－1 ＋a)为偶函数，所以 f(－x) ＝f(x)，即(－x)3( 1 2－x－1 ＋a)＝x3( 1 2x－1 ＋a)，所以2a＝－( 1 2－x－1 ＋ 1 2x－1)， 所以 2a＝1，解得 a＝1 2. 解法 2：因为函数 f(x)＝x3( 1 2x－1 ＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)， 所以(－1)3×( 1 2－1－1 ＋a)＝13×( 1 21－1 ＋a)，解得 a＝1 2 ，经检验，当 a ＝1 2 时，函数 f(x)为偶函数． 考点二 函数的周期性 【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝ 21－x，0≤x≤1， x－1，11 2 时，f x＋1 2 ＝f x－1 2 ，则 f(6)等于( D ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：当 x>1 2 时，f x＋1 2 ＝f x－1 2 ，即周期为 1，则 f(6)＝f(1)＝－ f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时， f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 ( B ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：当 0≤x<2 时，令 f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以 y＝f(x)的 图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1＝0，x2＝1.当 2≤x<4 时，0≤x－2<2， 又 f(x)的最小正周期为 2，所以 f(x－2)＝f(x)，所以 f(x)＝(x－2)(x－1)(x －3)，所以当 2≤x<4 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x3 ＝2，x4＝3.同理可得，当 4≤x<6 时，y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐 标分别为 x5＝4，x6＝5.当 x7＝6 时，也符合要求．综上可知，共有 7 个交点． 考点三 函数性质的综合应用 命题方向 1 函数奇偶性与单调性综合 【例 5】 (2019·全国卷Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0， ＋∞)单调递减，则( ) 【答案】 C 命题方向 2 函数奇偶性、周期性与单调性的综合 【例 6】 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0] 上单调递减，设 a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则 a，b，c 的大 小关系是( ) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b 【解析】 ∵偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为 2.∴a ＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－ 0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数 f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b， 故选 D. 【答案】 D 方法技巧 (1)函数单调性与奇偶性的综合，常利用奇、偶函数的图象的对称 性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系求解． (2)函数周期性与奇偶性的综合，此类问题多是求值问题，常利用 奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解 析式的函数的定义域内求解． (3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中 常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶 性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用 单调性解决相关问题． 1．(方向 1)函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若 f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是( D ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 解析：由已知，得 f(－1)＝1，使－1≤f(x)≤1 成立的 x 满足－ 1≤x≤1，所以由－1≤x－2≤1 得 1≤x≤3，即使－1≤f(x－2)≤1 成立 的 x 满足 1≤x≤3. 2．(方向 2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且 在区间[0,2]上是增函数，则( D ) A．f(－25)0，f(x)单调递增， 所以 f(x)∈[1，e2－2]，故 a∈[1，e2－2]． 解法 2：若存在1 e ≤x0≤e，使得 g(x0)＝－h(x0)， 则 a－x20＝－2lnx0， 只需函数 y＝x2－a 与 y＝2lnx 在 1 e ，e 上有公共点即可，借助函数 的凹凸性可得 a∈[1，e2－2]．