- 141.00 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
www.ks5u.com
第2课时 导数与函数的极值、最值
考点一 函数的极值
命题方向1 根据函数图象判断函数极值
【例1】 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
【解析】 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
【答案】 D
命题方向2 已知函数求极值
【例2】 (1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.-1 B.-2e-3
C.5e-3 D.1
(2)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数),求函数f(x)的极值.
【解析】 (1)f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.
∵x=-2是f(x)的极值点,∴f′(-2)=0,
即(4-2a-4+a-1)·e-3=0,得a=-1.
∴f(x)=(x2-x-1)ex-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1.
由f′(x)>0,得x<-2或x>1;由f′(x)<0,得-20,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,故函数f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.
【答案】 (1)A (2)见解析
命题方向3 已知函数的极值求参数
【例3】 设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;
(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.
所以f′(1)=(1-a)e.
由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
若a>,则当x∈时,f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在x=2处取得极小值.
若a≤时,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是.
方法技巧
函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤,①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:求解后验证根的合理性.
1.(方向1)函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( C )
A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间
B.(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
解析:由函数y=f(x)的导函数的图象可知,当x<-1或35或-10,y=f(x)单调递增.所以函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,5),单调递增区间为(-1,3),(5,+∞).函数y=f(x)在x=-1,5处取得极小值,在x=3处取得极大值,故选项C错误,故选C.
2.(方向2)(2020·山西太原模拟)设函数f(x)=x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为( A )
A.- B.-1
C. D.1
解析:f′(x)=x2-1,由f′(x)=0得x1=-1,x2=1.所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,且f(-1)=1,即m=,函数f(x)在x=1处取得极小值,且f(1)=×13-1+=-.故选A.
3.(方向3)(2020·江西八校联考)若函数f(x)=x2-x+alnx在[1,+∞)上有极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1].
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-1+=,由题意知2x2-x+a=0在R上有两个不同的实数解,且在[1,+∞)上有解,所以Δ=1-8a>0,且2×12-1+a≤0,所以a∈(-∞,-1].
考点二 函数的最值
【例4】 (1)函数f(x)=,x∈[0,4]的最小值是( )
A.0 B.
C. D.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.
①讨论f(x)的单调性;
②是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
【解析】 (1)f′(x)=,
当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(1,4]时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
又f(0)=0,f(4)=>0,所以f(0)=0最小.
(2)①f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
令f′(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪(,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(0,)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,0),(,+∞)单调递增,在(0,)单调递减;
若a=0,f′(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x∈(-∞,)∪(0,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(,0)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,),(0,+∞)单调递增,在(,0)单调递减.
②满足题设条件的a,b存在.
(ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
(ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.
(ⅲ)当0时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
∴当cosx=,f(x)有最小值.
又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),
∴当sinx=-时,f(x)有最小值,
即f(x)min=2××=-.
2.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.
(1)当a=1时,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-3x+lnx,
f′(x)=2x-3+.
因为f′(1)=0,f(1)=-2,所以曲线y=f(x)在点(1,-2)处的切线方程是y=-2.
(2)函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx的定义域是(0,+∞).
当a>0时,
f′(x)=2ax-(a+2)+=,
令f′(x)=
==0,得x=或x=.
当0<≤1,即a≥1时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2;
当1<
相关文档
- 高中数学第一章解三角形1_2应用举2021-06-1611页
- 2020年高中数学新教材同步必修第一2021-06-1630页
- 高中数学第二章数列2_1_2数列的递2021-06-163页
- 高中数学第4章指数与对数章末综合2021-06-165页
- 高中数学第四章指数函数对数函数与2021-06-1645页
- 高中数学(人教版a版必修一)配套课时2021-06-169页
- 【数学】安徽省滁州市民办高中20192021-06-1611页
- 高中数学模块综合测评含解析苏教版2021-06-169页
- 北师大版高中数学选修1-1同步练习2021-06-163页
- 北师版高中数学必修一第12讲:幂函数2021-06-166页