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- 2021-06-16 发布
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2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的
1. limn 2
1 2 3 n
n
=( )
(A) 2 (B) 4 (C)
2
1 (D)0
2.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是( )
(A)
2
1 (B) 3
2
(C) 2
2
(D) 3 2
2
3.设 f(x)=
2
| 1| 2,| | 1,
1 , | | 11
x x
xx
,则 f[f(
2
1 )]=( )
(A)
2
1 (B) 4
13
(C)- 9
5
(D) 25
41
4.在复平面内,复数
1
i
i
+(1+ 3 i)2 对应的点位于( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
5.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是( )
(A) 74 (B) 121 (C) -74 (D) -121
6.设 、 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l ,m ,有如下的
两个命题:①若 ∥ ,则 l∥m;②若 l⊥m,则 ⊥ .那么
(A) ①是真命题,②是假命题 (B) ①是假命题,②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
7.设集合 ( , ) | , ,1A x y x y x y = 是三角形的三边长 ,则 A 所表示的平面区域(不含
边界的阴影部分)是( )
(A) (B) (C) (D)
8.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( )
(A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1
9.设 f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记 P
={n∈N|f(n)
∈P},Q
={n∈N|f(n)∈Q},则( P
∩ Nð Q
)∪(Q
∩ Nð P
)=( )
(A) {0,3} (B){1,2} (C) (3,4,5} (D){1,2,6,7}
10.已知向量 a
≠ e
,| e
|=1,对任意 t∈R,恒有| a
-t e
|≥| a
- e
|,则
(A) a
⊥ e
(B) a
⊥( a
- e
) (C) e
⊥( a
- e
) (D) ( a
+ e
)⊥( a
- e
)
第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置
11.函数 y=
2
x
x
(x∈R,且 x≠-2)的反函数是_________.
12.设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点,DE⊥AB 于 E(如
图).现将△ADE 沿 DE 折起,使二面角 A-DE-B 为 45°,此
时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B,则 M、N 的连线与 AE
所成角的大小等于_________.
13.过双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的左焦点且垂直于
x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲
线的离心率等于_________.
14.从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取 2 个元素排成
一排(字母和数字均不能重复).每排中字母 O,Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法
种数是_________.(用数字作答).
三、解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分 解答应写出文字说明,证明过程
或演算步骤
15.已知函数 f(x)=- 3 sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ) 求 f( 25
6
)的值;
(Ⅱ) 设 ∈(0, ),f(
2
)=
4
1 - 3
2
,求 sin 的值.
16.已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2=2x.
M
N
D C
B
A
(Ⅰ)求函数 g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.
17.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 1 2,F F 在 x 轴上,长轴 1 2A A 的长为 4,左
准线l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线 1l :x=m(|m|>1),P 为 1l 上的动点,
使 1 2F PF 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表
示).
18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,
OP⊥底面 ABC.
(Ⅰ)当 k=
2
1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小;
(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△
PBC 的重心?
l
l
1
A
2
A
1
F
2
P
F
1
M
o
y
x
D
O
A
B
C
P
19.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是
3
1 ,从 B
中摸出一个红球的概率为 p.
(Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次
停止的概率;(ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ,求随机变量 的分布率及数
学期望 E .
(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一
个红球的概率是 2
5
,求 p 的值.
20.设点 nA ( nx ,0), 1( ,2 )n
n nP x 和抛物线 nC :y=x2+an x+bn(n∈N*),其中 an=-
2-4n- 1
1
2n , nx 由以下方法得到:
x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x2+a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1
上点的最短距离,…,点 1 1( ,2 )n
n nP x 在抛物线 nC :y=x2+an x+bn 上,点 nA ( nx ,0)
到 1nP 的距离是 nA 到 nC 上点的最短距离.
(Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程.
(Ⅱ)证明{ nx }是等差数列.
2005 年高考理科数学 浙江卷 试题及答案
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分,满分 50 分
(1)C (2)D (3)B (4)B (5)D (6)D (7)A (8)A (9)A (10)C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分,满分 16 分
(11) 2 , 11
xy x R xx
且 ;(12)90 ;(13)2;(14)8424
三、解答题:
(15)本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力 满分 14
分
解:(1) 25 1 25 3sin ,cos6 2 6 2
,
225 25 25 253sin sin cos 06 6 6 6f
(2) 3 3 1cos2 sin 22 2 2f x x x
3 1 3 1 3cos sin2 2 2 2 4 2f
216sin 4sin 11 0 ,
解得 1 3 5sin 8
0, , sin 0
故 1 3 5sin 8
(16)本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识,以及运算和
推理能力 满分 14 分
解:(Ⅰ)设函数 y f x 的图象上任意一点 0 0,Q x y 关于原点的对称点为 ,P x y ,则
0
0
0 0
0, ,2
.0,2
x x
x x
y y y y
即
∵点 0 0,Q x y 在函数 y f x 的图象上
∴ 2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x ,即 故
(Ⅱ)由 21 2 1 0g x f x x x x , 可得
当 1x 时, 22 1 0x x ,此时不等式无解
当 1x 时, 22 1 0x x ,解得 11 2x
因此,原不等式的解集为 11, 2
(17)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角,点的坐标等基础知识,
考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 满分 14 分
解:(Ⅰ)设椭圆方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
,半焦距为 c ,则
2
1 1 1,aMA a A F a cc
2
2 2 2
2
2 4
a a a cc
a
a b c
由题意,得 2, 3, 1a b c
2 2
1.4 3
x y 故椭圆方程为
(Ⅱ) 设 0, ,| | 1P m y m ,
当 0 0y 时, 1 2 0F PF ;
当 0 0y 时, 2 2 10 2F PF PF M ,
只需求 2 2tan F PF 的最大值即可
设直线 1PF 的斜率 0
1 1
yk m
,直线 2PF 的斜率 0
2 1
yk m
,
0 02 1
2 2 2 2 2 2
1 2 0 0
2 | | 2 | | 1tan 1 1 2 1 | | 1
y yk kF PF k k m y m y m
当且仅当 2
01 | |m y 时, 1 2F PF 最大,
2, 1 ,| | 1Q m m m
(18)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想
象能力和推理运算能力 满分 14 分
解:方法一:
(Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点, OD PA ∥
PA PAB又 平面 , OD PAB 平面∥
(Ⅱ) AB BC OA OC , ,
OA OB OC ,
OP ABC又 平面 , .PA PB PC
E PE BC POE取BC中点 ,连结 ,则 平面
OF PE F DF OF PBC 作 于 ,连结 ,则 平面
ODF OD PBC 是 与平面 所成的角.
又OD PA∥ ,
PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ODF ,
210sin ,30
OFRt ODF ODF OD
在 中,
210arcsin .30PBC PA与平面 所成的角为
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF PBC 平面 ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影
∵D 是 PC 的中点,
若点 F 是 PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线,
∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,
, ,OB PC PC BD PB PC ,即 1k
反之,当 1k 时,三棱锥O PBC 为正三棱锥,
∴O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心
方法二:
OP ABC 平面 , ,OA OC AB BC ,
E
F
D
O
B
C
A
P
, , .OA OB OA OP OB OP
以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系O xyz (如图)
设 ,AB a 则 2 2 2,0,0 , 0, ,0 , ,0,02 2 2A a B C
,
设OP h ,则 0,0,P h
(Ⅰ)D 为 PC 的中点,
2 1,0,4 2OD a h
,
又 2 1,0, , , //2 2PA a h OD PA OD PA
,
OD PAB 平面∥
(Ⅱ) 1
2k ,即 7 2 72 , , ,0,2 2 2PA a h a PA a a
,
可求得平面 PBC 的法向量 11, 1, 7n
,
210cos , 30| | | |
PA nPA n
PA n
,
设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ,则
210sin | cos , | 30PA n ,
(Ⅲ) PBC 的重心 2 2 1, ,6 6 3G a a h
,
2 2 1, ,6 6 3OG a a h
,
,OG PBC OG PB
平面 ,
又 2 22 1 1 20, , , 0,2 6 3 2PB a h OG PB a h h a
,
2 2PA OA h a ,即 1k ,
D
O
B
C
A
P
x
y
z
反之,当 1k 时,三棱锥O PBC 为正三棱锥,
∴O 在平面 PBC 内的射影为 PBC 的重心
(19)本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,
同时考查学生的逻辑思维能力 满分 14 分
解:(Ⅰ)(i)
2 2
2
4
1 2 1 8
3 3 3 81C
(ii)随机变量 的取值为 0,1,2,3,;
由 n 次独立重复试验概率公式 1 n kk k
n nP k C p p ,得
5
0
5
1 320 1 3 243P C
;
4
1
5
1 1 801 13 3 243P C
2 3
2
5
1 1 802 13 3 243P C
3 2
3
5
1 1 173 13 3 243P C
(或 32 80 2 173 1 243 243P )
随机变量 的分布列是
0 1 2 3
P
32
243
80
243
80
243
17
243
的数学期望是
32 80 80 17 1310 1 2 3243 243 243 243 81E
(Ⅱ)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球
由
1 2 23
3 5
m mp
m
,得 13
30p
(20)本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识,
以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力 满分 14 分
解:(Ⅰ)由题意得 2
1 1 11,0 , : 7A C y x x b ,
设点 ,P x y 是 1C 上任意一点,
则 22 22 2
1 1| | 1 1 7A P x y x x x b
令 22 2
11 7f x x x x b
则 2
12 1 2 7 2 7f x x x x b x
由题意得 2 0f x ,
即 2
2 2 1 22 1 2 7 2 7 0x x x b x
又 2 2 ,2P x 在 1C 上, 2
2 2 12 7x x b
解得 2 13, 14x b
故 1C 的方程为 2 7 14y x x
(Ⅱ)设点 ,P x y 是 nC 上任意一点,
则 22 22 2| |n n n n nA P x x y x x x a x b
令 22 2
n n ng x x x x a x b
则 22 2 2n n n ng x x x x a x b x a
由题意得 1 0ng x
即 2
1 1 12 2 2 0n n n n n n nx x x a x b x a
又
1
2
12 n
n
n n nx a x b ,
1 12 2 0 1n
n n n nx x x a n ,
即 1
11 2 2 0 *n n
n n nx x a
下面用数学归纳法证明 2 1nx n ,
①当 1n 时, 1 1x ,等式成立;
②假设当 n k 时,等式成立,即 2 1kx k ,
则当 1n k 时,由 * 知 1
11 2 2 0k k
k k kx x a
,
又 1
12 4 2k ka k , 1 1
2 2 11 2
k
k k
k k
x ax k
,
即 1n k 时,等式成立
由①②知,等式对 *n N 成立,
故 nx 是等差数列
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