高中数学第二章数列2_2_1等差数列学案新人教B版必修51 5页

2.2.1 等差数列 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用． 3．理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用． 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母______表示． 定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤： (1)作差 an＋1－an，将差变形； (2)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差数列；当 an＋1－an 不是常数， 而是与 n 有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． 【做一做 1】如果一个数列的前 3 项分别为 1,2,3，下列结论中正确的是( )． A．它一定是等差数列 B．它一定是递增数列 C．它一定是有穷数列 D．以上结论都不一定正确 2．等差数列的通项公式 如果一个等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则通项公式为____________． (1)等差数列通项公式的其他形式． ①an＝am＋(n－m)d；②an＝an＋b(a，b 是常数)． (2)等差数列的判断方法． ①定义法：an－an－1＝d(n≥2)或 an＋1－an＝d⇔数列{an}是等差数列； ②等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列； ③通项公式法：an＝an＋b⇔数列{an}是以 a1＝a＋b 为首项，以 a 为公差的等差数列． 【做一做 2－1】已知数列{an}的通项公式为 an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )． A．是公差为 2 的等差数列 B．是公差为 3 的等差数列 C．是公差为 5 的等差数列 D．不是等差数列 【做一做 2－2】等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是( )． A．92 B．47 C．46 D．45 3．等差中项 如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的________．x，A，y 是等差数 列的充要条件是________． (1)a，A，b 成等差数列的充要条件是：2A＝a＋b.当三个数成等差数列时，一般设为 a －d，a，a＋d；四个数成等差数列时，一般设为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. (2)在等差数列{an}中，从第 2 项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一 项与后一项的等差中项，表示为 an＋1＝an＋an＋2 2 ，等价于 an＋an＋2＝2an＋1，an＋1－an＝an＋2－an＋ 1. 【做一做 3】在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则∠B 等于( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 一、解读等差数列的概念 剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第 2 项起”及“同一个常数”．因 为数列的第 1 项没有前一项，因此强调从第 2 项起，如果一个数列，不从第 2 项起，而是从 第 3 项或从第 4 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数 列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列． (2)一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不 一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含 义的不同，如数列 2,4,5,9，从第 2 项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相 同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分 重要，切记不可丢掉． 二、等差数列的性质 剖析：若数列{an}是公差为 d 的等差数列， (1)d＝0 时，数列为常数列；d＞0 时，数列为递增数列；d＜0 时，数列为递减数列． (2)d＝an－a1 n－1 ＝am－ak m－k (m，n，k∈N＋)． (3)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． (4)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 am＋an＝ap＋aq. (5)若m＋n 2 ＝k，则 am＋an＝2ak. (6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末 两项之和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. (7)数列{λan＋b}(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列． (8)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 md 的等 差数列． (9)若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b 为非零常数)也成等差数列． (10)若{an}是等差数列，则 a1，a3，a5，…仍成等差数列． (11)若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列． 用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如 a8＝a2＋a6， a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正确． 三、教材中的“？” (1)通项公式为 an＝an－b(a，b 是常数)的数列都是等差数列吗？ 剖析：通项公式为 an＝an－b(a，b 为常数)的数列都是等差数列，其公差为 a. (2)怎么证明 A＝x＋y 2 ？ 剖析：∵x，A，y 成等差数列，∴A－x＝y－A，即 2A＝x＋y.∴A＝x＋y 2 . (3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？ 剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项 a1 与公差 d，所以要确定一个等差数列的通 项公式，需要知道两个独立的条件． 题型一 等差数列定义的应用 【例 1】判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n. 分析：利用等差数列的定义，即判断 an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数． 反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看 an＋1－an 得到的结果是否是一个与 n 无关 的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列． 题型二 等差数列的通项公式 【例 2】(1)求等差数列 10,7,4，…的第 20 项． (2)－201 是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？若是，应是第几项？ 分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解． 反思：求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题，利用已知条 件求等差数列的首项和公差是常用方法，应牢记等差数列的通项公式． 题型三 等差数列性质的应用 【例 3】数列{an}为等差数列，已知 a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公 式． 分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用 a1，d 建立方程组来求解．但 是，注意到 a2，a5，a8 及 a3，a5，a7 的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质 来求解，此法运算量较小． 反思：在有关等差数列的问题中，若已知的项的序号成等差数列，则解决问题的过程中， 均可考虑利用等差数列的性质． 题型四 构造等差数列求通项公式 【例 4】(1)数列{an}的各项均为正数，且满足 an＋1＝an＋2 an＋1，a1＝1，求 an； (2)在数列{an}中，a1＝1，且满足 an＋1＝ 2an an＋2 ，求 an. 分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求 an. 反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一 般有：平方法、开平方法、倒数法等． 题型五 易错辨析 【例 5】已知 b 是 a，c 的等差中项，且 lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列， 同时 a＋b＋c＝15，求 a，b，c 的值． 错解：因为 b 是 a，c 的等差中项， 所以 2b＝a＋c. 又因为 a＋b＋c＝15， 所以 3b＝15，所以 b＝5. 设 a，b，c 的公差为 d， 则 a＝5－d，c＝5＋d. 由题可知 2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)， 所以 2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)． 所以 16＝25－(d－1)2. 所以(d－1)2＝9，即 d－1＝3. 所以 d＝4，所以 a，b，c 分别为 1,5,9. 错因分析：解方程(d－1)2＝9 时，d－1 应取±3 两个．而错解只取 d－1＝3，漏掉了 d －1＝－3 的情况． 【例 6】已知两个数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为 100，则 它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 错解：由已知两等差数列的前 3 项，容易求得它们的通项公式分别为 an＝3n＋2，bn＝ 4n－1(1≤n≤100)．令 an＝bn，得 3n＋2＝4n－1，即 n＝3.所以两数列只有 1 个数值相同的 项，即第 3 项． 错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如 23 在数 列{an}中是第 7 项，而在数列{bn}中是第 6 项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也 就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中 的第几项． 1 已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5，则 m 和 n 的等差中项是( )． A．2 B．3 C．6 D．9 2 在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则 a3＋a13－a8＝( )． A．24 B．22 C．20 D．－8 3 若数列{an}的通项公式为 an＝6n＋7，则这个数列________(填“是”或“不是”)等差 数列． 4 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________. 答案： 基础知识·梳理 1．第 2 项 同一个常数 公差 d 【做一做 1】D 2．an＝a1＋(n－1)d 【做一做 2－1】A 已知 a1＝7，an－an－1＝2(n≥2)，故这是一个以 2 为公差的等差数列． 【做一做 2－2】C 由已知，得 a1＝1，d＝(－1)－1＝－2， ∴an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3. 令－2n＋3＝－89，得 n＝46. 3．等差中项 2A＝x＋y 【做一做 3】B 典型例题·领悟 【例 1】解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由 n 的任意性知，这个数 列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数 列． 【例 2】解：(1)由 a1＝10，d＝7－10＝－3，n＝20，得 a20＝10＋(20－1)×(－3)＝－ 47. (2)由 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得数列的通项公式为 an＝－5＋(n－1)×(－4) ＝－4n－1.设－4n－1＝－201 成立，解得 n＝50.所以－201 是这个等差数列的第 50 项． 【例 3】解：∵a2＋a8＝2a5， ∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9.∴a5＝3. ∴a2＋a8＝a3＋a7＝6.① 又 a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7.② 由①②解得 a3＝－1，a7＝7 或 a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2 或 a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式 an＝a3＋(n－3)d， 得 an＝2n－7 或 an＝－2n＋13. 【例 4】解：(1)由 an＋1＝an＋2 an＋1，可得 an＋1＝( an＋1)2.∵an＞0，∴ an＋1＝ an＋ 1，即 an＋1－ an＝1.∴{ an}是首项为 a1＝1，公差为 1 的等差数列． ∴ an＝1＋(n－1)＝n.∴an＝n2. (2)由 an＋1＝ 2an an＋2 ，可得 1 an＋1 ＝1 an ＋1 2 ， ∴{1 an }是首项为1 a1 ＝1，公差为1 2 的等差数列． ∴1 an ＝1＋1 2 (n－1)＝n＋1 2 .∴an＝ 2 n＋1 . 【例 5】正解：因为 b 是 a，c 的等差中项，所以 2b＝a＋c. 又因为 a＋b＋c＝15，所以 3b＝15.所以 b＝5. 设 a，b，c 的公差为 d， 则 a＝5－d，c＝5＋d. 由题可知 2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)， 所以 2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)． 所以 16＝25－(d－1)2，即(d－1)2＝9. 所以 d－1＝±3，即 d＝4 或 d＝－2. 所以 a，b，c 三个数分别为 1,5,9 或 7,5,3. 【例 6】正解：∵an＝3n＋2(n∈N＋)，bk＝4k－1(k∈N＋)，两数列的共同项可由 3n＋2 ＝4k－1 求得． ∴n＝4 3 k－1，而 n∈N＋，k∈N＋， ∴设 k＝3r(r∈N＋)，得 n＝4r－1. 由已知 1 3 100 1 4 1 100 r r       ， ，且 r∈N＋，可得 1≤r≤25.∴共有 25 个相同数值的项． 随堂练习·巩固 1．B 由题意，得 m＋2n＝8， 2m＋n＝10， ∴ m＝4， n＝2. ∴m 和 n 的等差中项是 3. 2．A 3．是 判断数列是否是等差数列的方法是：an－an－1＝d(n≥2)．根据定义有：an－an－1 ＝(6n＋7)－[6(n－1)＋7]＝6(常数)，所以{an}是等差数列． 4．13 等差数列{an}中，a3＝7，a5－a2＝6， ∴3d＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.