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- 2021-06-16 发布
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第八章立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
解析根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.
答案ACD
2.下面多面体中,是棱柱的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.
答案D
3.
如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
解析剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
答案B
4.下列说法错误的有( )
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;
②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;
③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.
答案C
5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
解析动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.
答案C
6.
如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析如图.
∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,
∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.
答案A
7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.
解析n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.
答案12
8.一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体;
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?
解(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.
9.
按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).
(1)一个三棱柱和一个多面体;
(2)三个三棱锥.
解(1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)
(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)
能力提升练
1.(2020北京检测)一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥必不是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
解析正六棱锥的底面是个正六边形,正六边形共由6个等边三角形构成,设每个等边三角形的边长为r,正六棱锥的高为h,正六棱锥的侧棱长为l,由正六棱锥的高h、底面正六边形的边长r、侧棱长l构成直角三角形得,h2+r2=l2,故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等.故选D.
答案D
2.(2020山东青岛检测)设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是( )
A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P
C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P
解析根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,
正四棱柱是特殊的长方体,
长方体是特殊的直四棱柱,
所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.
答案B
3.(2020全国高一课时练习)下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是( )
解析将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.
答案B
4.(2020湖北黄冈检测)下列说法正确的有 个.
①棱台的侧棱都相等;
②正棱锥的侧面是等边三角形;
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
解析①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;
②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;
③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.
如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,
满足底面△BCD为等边三角形,
三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.
答案0
5.
如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
(3)每个面的三角形面积为多少?
解(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
素养培优练
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.
解把长方体的部分面展开,如图,有三种情况.
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到EBE=,再在长方形BCC1B1内由E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到FD1F=,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为.
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