2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章10.1.4 概率的基本性质 11页

10.1.4 概率的基本性质 学习目标 1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典 概型有关的问题. 知识点 概率的基本性质 性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质 5 如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B). 性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 思考 (1)如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥，那么事件 A1，A2，…，An 的和事件的概率等 于事件 A1，A2，…，An 的概率和吗？ 答案 相等.P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). (2)对于任意事件 A，事件 A 的概率的范围是多少？ 答案 因∅⊆A⊆Ω，∴0≤P(A)≤1. 1.A，B 为两个事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B).( × ) 2.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( × ) 3.事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 是对立事件.( × ) 4.如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A)＋P(B)≤1.( √ ) 一、互斥事件与对立事件概率公式的应用 例 1 某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中： (1)射中 10 环或 9 环的概率； (2)至少射中 7 环的概率； (3)射中 8 环以下的概率. 解 “射中 10 环”“射中9 环”“射中8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”是彼此互斥的， 可运用互斥事件的概率加法公式求解. 设“射中 10 环”“射中 9 环”“射中 8 环”“射中 7 环”“射中 7 环以下”的事件分别为事 件 A，B，C，D，E，则 (1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中 10 环或 9 环的概率为 0.52. (2)方法一 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所 以至少射中 7 环的概率为 0.87. 方法二 事件“至少射中 7 环”的对立事件是“射中 7 环以下”，其概率为 0.13，则至少射 中 7 环的概率为 1－0.13＝0.87. (3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中 8 环以下的概率为 0.29. 反思感悟 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率，再求其和. 注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的. 跟踪训练 1 在数学考试中，小明的成绩在 90 分及 90 分以上的概率是 0.18，在 80～89 分(包 括 80 分与 89 分，下同)的概率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得 80 分及 80 分以上的成绩； (2)小明考试及格(60 分及 60 分以上为及格). 解 分别记小明的成绩“在 90 分及 90 分以上”，“在 80～89 分”，“在 70～79 分”，“在 60～69 分”为事件 B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩在 80 分及 80 分以上的概率是 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)方法一 小明考试及格的概率是 P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 方法二 因为小明考试不及格的概率是 0.07，所以小明考试及格的概率是 1－0.07＝0.93. 二、互斥、对立事件与古典概型的综合应用 例 2 一盒中装有各色球 12 个，其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球，从中随机取 出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 解 记事件 A1＝{任取 1 球为红球}；A2＝{任取 1 球为黑球}；A3＝{任取 1 球为白球}；A4＝{任 取 1 球为绿球}，则 P(A1)＝ 5 12 ，P(A2)＝ 4 12 ，P(A3)＝ 2 12 ，P(A4)＝ 1 12. 根据题意，事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥. 方法一 由互斥事件概率公式，得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝ 5 12 ＋ 4 12 ＝3 4. (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝ 5 12 ＋ 4 12 ＋ 2 12 ＝11 12. 方法二 (1)取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1＋A2 的对立事 件为 A3＋A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4) ＝1－ 2 12 － 1 12 ＝ 9 12 ＝3 4. (2)A1＋A2＋A3 的对立事件为 A4，所以 P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－ 1 12 ＝11 12. 反思感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分 类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至 多……”型事件的概率. 跟踪训练 2 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员，某些队员不止参加了一 支球队，具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A，B，C.由题图知 3 支球队共有球员 20 名. 则 P(A)＝ 5 20 ，P(B)＝ 3 20 ，P(C)＝ 4 20. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 D. 则 D＝A＋B＋C，∵事件 A，B，C 两两互斥， ∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝ 5 20 ＋ 3 20 ＋ 4 20 ＝3 5. (2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E， 则 E 为“抽取一名队员，该队员属于 3 支球队”， ∴P(E)＝1－P( E )＝1－ 2 20 ＝ 9 10. 正难则反思想的应用 典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相 同.随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率. 解 (1)由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)， (1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)， (2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 个. 所以 P(A)＝ 3 27 ＝1 9. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为1 9. (2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 B 的对立事件 B 包括 的样本点有(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种. ∴P(B)＝1－P( B )＝1－ 3 27 ＝8 9. 即“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为8 9. [素养提升] 当正面考虑所解决的问题比较繁琐复杂时，可以通过逻辑推理，找到所求事件 的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解. 1.在一个试验中，若 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件 A 与事件 B 的关系是( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.以上答案都不对 答案 C 2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42， 摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是( ) A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 答案 C 解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是 1－0.42－0.28＝ 0.3，故选 C. 3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说 法正确的是( ) A.A＋B 与 C 是互斥事件，也是对立事件 B.B＋C 与 D 是互斥事件，也是对立事件 C.A＋C 与 B＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D.A 与 B＋C＋D 是互斥事件，也是对立事件 答案 D 解析 由于 A，B，C，D 彼此互斥，且 P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知 A ＋B＋C＋D 是一个必然事件，故四个事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立 事件，故选 D. 4.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ( ) A. 1 10 B. 3 10 C.3 5 D. 9 10 答案 D 解析 记 3 个红球分别为 a1，a2，a3,2 个白球分别为 b1，b2，从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个，则样本空间Ω＝{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)， (a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)}，共含 10 个样本点， 样本点出现的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.用事件 A 表示“所取的 3 个球中 至少有 1 个白球”，则其对立事件 A 表示“所取的 3 个球中没有白球”，则事件 A 包含的 样本点有 1 个(a1，a2，a3)，所以 P( A )＝ 1 10.故 P(A)＝1－P( A )＝1－ 1 10 ＝ 9 10. 5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为3 7 ， 乙夺得冠军的概率为1 4 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________. 答案 19 28 解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠 军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行 计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为3 7 ＋1 4 ＝19 28. 1.知识清单： 性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质 5 如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B). 性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 2.方法归纳： (1)将所求事件转化为互斥事件的并事件. (2)将求复杂事件的概率转化为求其对立事件的概率. 3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，不能重复和遗漏. 1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则 P(A＋B)等于( ) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定 答案 D 解析 由于不能确定 A 与 B 是否互斥，则 P(A＋B)的值不能确定. 2.(多选)下列四个命题中错误的是( ) A.对立事件一定是互斥事件 B.若 A，B 为两个事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) C.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 D.事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 是对立事件 答案 BCD 解析 对立事件首先是互斥事件，故 A 正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加 法公式，故 B 不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是 必然事件，故 C 不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件 A＝{正面为奇数}，B＝{正面为 1,2,3}，则 P(A)＋P(B)＝1.而 A，B 不是对立事件，故 D 不正 确. 3.若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P(A)＝0.1，则 P(B)的取值范围是( ) A.[0,0.9] B.[0.1,0.9] C.(0,0.9] D.[0,1] 答案 A 解析 由于事件 A 和 B 是互斥事件，则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又 0≤P(A＋B)≤1， 所以 0≤0.1＋P(B)≤1，又 P(B)≥0，所以 0≤P(B)≤0.9，故选 A. 4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A＝“抽到一等品”，事件 B＝“抽到二等品”，事 件 C＝“抽到三等品”.已知 P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等 品”的概率为( ) A.0.20 B.0.39 C.0.35 D.0.90 答案 C 解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而 P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品 的概率是 1－0.65＝0.35. 5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于 4.8 g 的概率为 0.3，质量小于 4.85 g 的概率为 0.32，那么质量在 4.8～4.85 g 范围内的概率是( ) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 答案 C 解析 设“质量小于 4.8g”为事件 A，“质量小于 4.85 g”为事件 B，“质量在 4.8～4.85 g” 为事件 C，则 A＋C＝B，且 A，C 为互斥事件，所以 P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则 P(C) ＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02. 6.某城市 2018 年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 T 30 60 100 110 130 140 概率 P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T≤50 时，空气质量为优；50