山东省淄博市普通高中部分学校2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量检测数学试题 Word版含解析 19页

淄博市普通高中部分学校高二期末教学质量检测 数学试题 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算法则，求出的实部和虚部，即可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 对应点的坐标为，位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2. 若函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出即可.‎ - 19 -‎ ‎【详解】因为，所以 故选：B ‎【点睛】本题考查的是导数的计算，属于基础题.‎ ‎3. 某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）‎ A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.‎ ‎【详解】解：因为数学成绩服从正态分布，且，‎ 所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题.‎ ‎4. 展开式的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出展开式的通项，整理可知当时为常数项，代入通项求解结果．‎ ‎【详解】展开式的通项公式为，‎ 当，即时，常数项为：，‎ 故答案选D．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．‎ ‎5. 已知离散型随机变量的分布列为：‎ - 19 -‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 缺失数据 则随机变量的期望为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可．‎ ‎【详解】解：由分布列的概率的和为1，可得：缺失数据：．‎ 所以随机变量的期望为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望的求法，属于基础题．‎ ‎6. 参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）‎ A. 360 B. 720 C. 2160 D. 4320‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排前排有种不同排法，再排后排种不同排法，最后计算出答案即可.‎ ‎【详解】解：分两步完成：‎ 第一步：从6人中选3人排前排：种不同排法；‎ 第二步：剩下的3人排后排：种不同排法，‎ 再按照分步乘法计数原理：种不同排法，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查排列问题，是基础题.‎ ‎7. 函数的图象大致是（ ）‎ - 19 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得为偶函数，可以排除，结合解析式求出、的值，排除、，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数，有，函数为偶函数，排除，‎ 又由，排除，‎ ‎，函数在轴下方有图象，排除；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性与特殊值的函数值，属于基础题．‎ ‎8. 当调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查某大学学生谈恋爱的比例.提出问题如下：问题1：你现在谈恋爱吗？问题2：你学籍号尾数是偶数吗？设计了一副纸牌共100张，其中75张标有数字1，25 张标有数字2.随机调查了该校1000名学生，每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1；若抽到标有数字2的纸牌回答问题2，回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”，估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 由题意回答问题2的学生有250人，其中有125人回答是，由此得到回答问题的学生有750人，其中人回答是，从而能估计该大学学生现在谈恋爱的百分比．‎ ‎【详解】解：由题意回答问题2的学生有：人，‎ 回答问题2的学生有人回答是，‎ 回答问题的学生有750人，其中人回答是，‎ 该大学学生现在谈恋爱的百分比是：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查该大学学生现在谈恋爱的百分比的求法，考查互斥事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 已知函数，则（ ）‎ A. B. 函数的极小值点为0‎ C. 函数的单调递减区间是 D. ，不等式恒成立 ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在已知函数解析式中，取求得判断；把代入函数解析式，利用导数求函数的单调性并求极值、最值判断．‎ ‎【详解】解：在中，取，可得．‎ 故正确；‎ 则，，．‎ 在上为增函数，‎ - 19 -‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 的极小值为，即，故正确；错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、最值，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎10. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B. 在回归分析中，相关指数越大，说明回归模型拟合的效果越好 C. 随机变量，若，，则 D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大,判断选项A错误；选项B先说明残差平方和越小，所以回归模型拟合的效果越好，判断选项B正确；选项C先建立方程求出，判断选项C错误；选项D先求出回归方程，再求出，，判断选项D正确.‎ ‎【详解】选项A：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故选项A错误；‎ 选项B：在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，说明回归模型拟合的效果越好，故选项B正确；‎ - 19 -‎ 选项C：随机变量，若，，则，解得：，故选项C错误；‎ 选项D：因，所以，令，‎ 则，又，所以，，则，，故选项D正确.‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、回归分析、二项分布、线性回归方程求参数，是中档题.‎ ‎11. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虛部相等 D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.‎ ‎【详解】若，则，故A正确；‎ 设，‎ 由，可得 则，而不一定为0，故B错误；‎ - 19 -‎ 当时为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；‎ 若复数是虚数，则，即 所以“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故D正确；‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.‎ ‎12. 经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数存在导函数，称为函数的弹性函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数（为常数）的弹性函数是 B. 函数的弹性函数是 C. ‎ D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可.‎ ‎【详解】对于A，，即A正确；‎ 对于B，，即B正确；‎ 对于C，‎ 而，二者不相等，即C错误；‎ - 19 -‎ 对于D，‎ 即D正确 故选：ABD ‎【点睛】本题是一道新定义的题，考查了学生的分析能力和转化能力，较难.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程．‎ ‎【详解】解：的导数为，‎ 可得曲线在点处的切线斜率为，‎ 则曲线在点处的切线方程为，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎14. 用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有_______种涂法.‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，然后给、面；给面，分与相同色、与不同色，利用乘法原理可得结论．‎ ‎【详解】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为、、、，‎ 然后给面涂色，有3种；给面涂色，有2种；‎ - 19 -‎ 给面，若与相同色，则面可以涂2种；若与不同色，则面可以涂1种，‎ 所以共有．‎ 故答案为：72．‎ ‎【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于中档题．‎ ‎15. 若复数满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可知，复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，进而求出|z|的最小值．‎ ‎【详解】满足|z﹣3﹣4i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以C（3，4）为圆心，以1为半径的圆上，如图所示，‎ 则|z|的最小值为．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法，复数的代数表示法及其几何意义，也考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．‎ ‎16. 已知，得______.若 - 19 -‎ ‎，则______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法解决即可.‎ ‎【详解】令可得 令可得 令可得 因为 所以，，结合可解得 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题考查的是利用赋值法解决二项式展开式的系数和问题，较简单.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，通过汇总数据得到下面等高条形图：‎ ‎（1）根据所给等高条形图数据，完成下面的列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 - 19 -‎ 女顾客 ‎（2）根据（1）中列联表，判断是否有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关？‎ 附：，.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）没有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等高条形图中的数据可得答案；‎ 计算出的值，然后与作比较即可.‎ ‎【详解】（1）由等高条形图中的数据可得：‎ 男顾客中满意的人数为：，不满意的人数为 女顾客中满意的人数为：，不满意的人数为 所以列联表如下：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎（2）‎ 因为 所以没有的把握认为顾客对该商场服务的评价与性别有关.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查的是独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎18. 据某县水资源管理部门估计，该县乡村饮用水井中含有杂质.为了弄清该估计值是否正确，需要进一步验证.由于对所有的水井进行检测花费太大，所以决定从全部饮用水井中随机抽取5口水井检测.‎ ‎（1）假设估计值是正确的，求抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质的概率；‎ ‎（2）在概率中，我们把发生概率非常小（一般以小于0.05为标准）的事件称为小概率事件，意思是说，在随机试验中，如果某事件发生的概率非常小，那么它在一次试验中几乎是不可能发生的.假设在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质，试判断“该县的乡村饮用水井中含有杂质”的估计是否正确，并说明理由.‎ 参考数据：，，.‎ ‎【答案】（1）；（2）“该县乡村饮用水井中含有杂质”的估计是错误的．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用独立重复试验与对立事件的概率求解；‎ ‎（2）利用二项分布求得在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质的概率，与0.05比较大小得结论．‎ ‎【详解】解：（1）假设估计值是正确的，即随机抽一口水井，含有杂质的概率．‎ 抽取5口水井中至少有1口水井含有杂质的概率；‎ ‎（2）在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质的概率为．‎ 说明在随机抽取的5口水井中有3口水井含有杂质是小概率事件，它在一次试验中几乎是不可能发生的，‎ 说明“该县的乡村饮用水井中含有杂质”的估计是错误的．‎ ‎【点睛】本题考查独立重复试验与二项分布在解决实际问题中的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ - 19 -‎ ‎（2）若过点可作曲线的3条切线，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若，则，令，求导，利用单调性求得，即可得证；‎ ‎（2）设切点为，由，可得关于的方程，由过点可作曲线的3条切线，可得方程有三个解，令，根据函数的单调性求出的范围即可．‎ ‎【详解】（1）证明：若，则，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，函数为增函数，‎ 所以（3），‎ 即，得证．‎ ‎（2）解：设切点为，又，‎ 则，‎ 整理得，由题意可知此方程有三个解，‎ 令，‎ ‎，‎ 由，解得或，由解得，‎ 即函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ - 19 -‎ 要使得有3个根，则，且（1），‎ 解得，即的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．‎ ‎20. 线上学习是有效的教学辅助形式，向阳中学高二某班共有10名学困生（独立学习有困难），为及时给学困生释惑答疑，每天上午和下午各安排1次在线答疑.因多种原因，每次只能满足6名学生同时登录参加在线答疑，且在上午和下午各有6名学生相互独立的登录参加在线答疑.‎ ‎（1）记“10名学困生每天每人至少参加一次在线答疑”为事件，求；‎ ‎（2）用表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，求的分布列及的期望值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列详见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分情况讨论上下午参加答疑学生的人数，用事件A的基本事件数除以样本空间总数可得答案；‎ ‎（2）求可能取值对应的概率，列出分布列，再求期望值.‎ ‎【详解】（1）问题中要做一件事：10位学生参加在线答疑，样本空间有三种情况：上午与下午均参加，上午参加下午不参加，上午不参加下午参加：‎ 而上午与下午参加的学生只有5种情形：2人，3人，4人，5人，6人，‎ 有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有种可能，‎ 有3人上下午均参加时，剩下的学生有3人选上午，3人选下午，共有种可能，‎ 在4人上下午均参加时，剩下的学生有2人选午，2人选下午，共有种可能，‎ 有5人上下午均参加时，剩下的学生有1人选上午，1人选下午，共有种可能，‎ 有6人上下午均参加时，剩下的学生有0人选上午，0人选下午，共有种可能，‎ - 19 -‎ 样本空间总数为++++=44100，‎ 事件A的基本事件数为：有2人上下午均参加时，剩下的学生有4人选上午，4人选下午，共有，由此能求出P(A).‎ ‎(2)用表示该班每天上午和下午都参加在线答疑的学困生人数，可能取值为2，3，4，5，6，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 的期望值.‎ ‎【点睛】本题考查了概率、随机变量的分布列，要熟练的求出变量对应的概率，列出分布列求出期望值.‎ ‎21. 随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ - 19 -‎ 数量（辆）‎ ‎41‎ ‎96‎ ‎116‎ ‎190‎ ‎218‎ ‎275‎ ‎（1）若该小区私家车的数量与年份编号的关系可用线性回归模型来拟合，请求出关于的线性回归方程，并用相关指数分析其拟合效果（精确到0.01）；‎ ‎（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位.‎ 参考数据：，，，.‎ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关指数，残差.‎ ‎【答案】（1）；拟合效果较好；（2）至少需要规划409个停车位 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得，根据与1的接近程度分析拟合效果；‎ ‎（2）在（1）中求得线性回归方程中，取求得值即可．‎ ‎【详解】解：（1），．‎ ‎，‎ ‎．‎ 关于的线性回归方程为．‎ 时，，时，，时，，‎ - 19 -‎ 时，，时，，时，．‎ ‎．‎ ‎，‎ 相关指数近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好；‎ ‎（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取，‎ 可得．‎ 故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程与相关指数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）若时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解析式中，求导，即可求得单调区间；‎ ‎（2）若时，不等式恒成立，即为时，不等式恒成立，转化为求在上单调递减时的取值范围，即可求得的最大值.‎ ‎【详解】（1）若，则 所以 所以函数在定义域上单调递减，‎ 即函数的单调递减区间为 ‎（2）因为 - 19 -‎ 所以若时，不等式恒成立，即为时，不等式恒成立，‎ 所以只需满足在上单调递减即可，即 所以 令，则恒成立 即恒成立 若，在上单调递减，只需满足，解得 若，，不成立 若，在上单调递增，，不满足 综上：的取值范围为，即的最大值为 ‎【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和解决恒成立问题，考查了学生的分析能力和转化能力，属于较难题.‎ - 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