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- 2021-06-16 发布
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郴州市 2017 届高三第三次教学质量监测试卷
文科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一
项符合题目要求.
1.已知集合 2| 6 5 0 , 1,2,3,4,5M x x x N ,则 M N
A. 1,2,3,4 B. 2,3,4,5 C. 2,3,4 D. 1,2,4,5
2.设
1
i a bii
( ,a b R ,i 是虚数单位),则 a bi
A. 1 B. 1
2
C. 2 D. 2
2
3.从集合 2, 1,2A 中随机选取一个数记为 a,从集合 1,1,3B 中随机选取一个数记为 b,
则直线 0ax y b 不经过第四象限的概率为
A. 2
9
B. 1
3
C. 4
9
D. 1
4
4.函数 2sin 2 3f x x
的图象关于直线 0x x 对称,则 0x 的最小值为
A.
12
B.
6
C.
4
D. 5
12
5.《九章算术 均输》中有如下问题:“今有五人分五钱,令
上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思是“已知甲、
乙、丙、丁、戊”五人分 5 钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊
三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,
问五人各得多少钱?(“钱”是古代的一种重量单位).这个 问
题中,乙所得为
A. 4
3
钱 B. 7
6
钱 C. 6
5
钱 D. 5
4
钱
6.一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积是
A. 4 2 6 B. 4 6
C. 4 2 2 D. 4 2
7.设关于 ,x y 的不等式组
2 1 0
0
0
x y
x m
y m
表示的平面区域内存在点 0 0,P x y ,满足 0 02 2x y ,
则 m 的取值范围是
A. 4, 3
B. 1, 3
C. 2, 3
D. 5, 3
8.如图,程序输出的结果为 1320s ,则判断框 内
应填入
A. 10?i B. 10?i
C. 11?i D. 11?i
9.函数
sin
ln 2
xf x x
的图象可能是
10.已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在某球面上, PC 为该球的直径, ABC 是边长为 4 的等边
三角形,三棱锥 P ABC 的体积为16
3
,则该三棱锥的外接球的表面积为
A. 16
3
B. 40
3
C. 64
3
D. 80
3
11.如图,以双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右顶点 2A 为圆
心作一个圆,该圆与其渐近线 0bx ay 交于 ,P Q 两点,若 2 90 , 2PA Q PQ OP ,则该双
曲线的离心率为
A. 7
2
B. 5
2
C. 5 D. 3
12.已知曲线 : xC y e 和直线 : 0l ax by ,若直线l 上有且只有两个关于 y 轴对称的点在曲线 C
上,则 b
a
的取值范围是
A. , e B. 1, e
C. 10, e
D. ,e
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.设向量 ,2 , 1, 1a x b ,且 a b b ,则 x 的值为 .
14.已知奇函数
1, 0
, 0
xe xf x x
h x x
,则函数 h x 的最大值为 .
15.已知直线 : 6 0l x y 和圆 2 2: 2 2 2 0M x y x y ,点 A 在直线l 上,若圆 M 上存在一
点 C,使得 30MAC ,则点 A 的横坐标的取值范围为 .
16.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 1 ,n nS a n N ,令 n nb na ,记 nb 的前 n 项和为 nT ,
若不等式 1 n
n nT b 对任意的正整数 n 恒成立,则实数 的取值范围是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(本题满分 12 分)
已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 , ,a b c ,且 , ,a b c 成等比数列, 3cos .5B
(1)求 cos cos
sin sin
A C
A C
的值;
(2)若 ABC 的面积为 2,求 ABC 的周长.
18.(本题满分 12 分)2017 年郴州市两会召开前夕,某网
站推出两会热点大型调查,调查数据表明,民生问题时百
姓最为关心的热点,参与调查者中关注此问题的约占 80%,现从参与者中随机选出 200 人,并将这
200 人按年龄分组:第 1 组 15,25 ,第 2 组 25,35 ,第 3 组 35,45 ,第 4组 45,55 ,第 5 组
55,65 ,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出频率分布直方图中 a 的值,并求出这 200 的平均年龄;
(2)现在要从年龄较小的第 1 组合第 2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机抽
取 2 人赠送礼品,求抽取的 2 人中至少有 1 人的年龄在第 1 组的概率;
(3)把年龄在第 1,2,3 组的居民称为青少年组,年龄在第 4,5 组的居民称为中老年组,若选出的
200 人中不关注民生问题的人中老年人有 10 人,根据以上数据,完成以下列联表,并判断是否可以
在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为关注民生问题与年龄有关?
19.(本题满分 12 分)如图,四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD 为边长为 2 的正三角形,且与底面
垂直,底面 ABCD 是菱形,且 60ABC , M 为 PC 的中点.
(1)在棱 PB 上是否存在一点Q ,使得 , , ,A Q M D 四点共面?若存在,求出点Q 的位置并证明;
若不存在,请说明理由;
(2)求点 D 到平面 PAM 的距离.
20.(本题满分 12 分)已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
过点 3,1A ,斜率为 3 的直线 1l 过
椭圆C 的焦点及点 0, 2 3 .B
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知直线 2l 过椭圆C 的左焦点 F ,交椭圆于点 ,P Q ,若直线 2l 与两坐标轴都不垂直,试问
x 轴上是否存在一点 M ,使得 MF 恰好为 PMQ 的角平分线?若存在,求出点 M M 的坐标;若不
存在,请说明理由.
21.(本题满分 12 分)已知函数 1ln 1, 0f x ax ax
(1)求函数 f x 的单调区间;
(2)已知 g x xf x x ,若函数 g x 有两个极值点 1 2 1 2,x x x x ,求证: 1 0g x .
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请
用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分 10 分)选修 4-4:参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系 xoy 中,圆C 的参数方程为 1 cos
sin
x
y
( 为参数),以坐标原点 O 为极
点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系.
(1)求圆 C 的极坐标方程;
(2)直线l 的极坐标方程是 2 sin 3 33
,射线 : 3OM 与圆 C 的交点为 O,P,与直线l
的交点为 Q,求线段 PQ 的长.
23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 2 , 0.f x x x a a
(1)当 1a 时,解不等式 8f x
(2)若 6f x ,恒成立,求实数 a 的取值范围.
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