高中数学第四章数列4-1数列的概念第2课时数列的递推公式课件新人教A版选择性必修第二册 22页

第 2 课时　数列的递推公式 激趣诱思 知识点拨 斐波那契 , 意大利著名数学家 . 保存至今的斐波那契著作有 5 部 , 其中影响最大的是 1202 年在意大利出版的《算盘全书》 . 《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题 : 如果一对兔子每月繁殖一对子兔 ( 一雌一雄 ), 而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子 . 试问一对兔子 50 个月后会有多少对兔子 ? 从第 1 个月开始 , 以后每个月的兔子总对数是 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, … , 这就是著名的斐波那契数列 . 这个数列的规律是递推关系 : F n =F n- 1 +F n- 2 ( n> 2), 其中 F n 表示第 n 个月的兔子的总对数 . 那么什么是递推关系呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示 , 那么这个式子叫做这个数列的递推公式 . 名师点析 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映了 a n 与 n 之间的关系 , 即已知 n 的值 , 就可代入通项公式求得该项的值 a n ; 递推关系则是间接反映数列的式子 , 它是数列任意两个 ( 或多个 ) 相邻项之间的推导关系 , 要求 a n , 需将与之联系的各项依次求出 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 设数列 { a n } 满足 a 1 = 1, 激趣诱思 知识点拨 二、数列的通项与前 n 项和 1 . 数列 { a n } 从第 1 项起到第 n 项止的各项之和 , 称为数列 { a n } 的前 n 项和 , 记作 S n , 即 S n =a 1 +a 2 + … +a n . 如果数列 { a n } 的前 n 项和 S n 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示 , 那么这个式子叫做这个数列的前 n 项和公式 . 名师点析 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n , 求 a n , 一般使用 公式 a n =S n -S n- 1 ( n ≥ 2), 但必须注意它成立的条件 ( n ≥ 2 且 n ∈ N * ) . (2) 由 S n -S n- 1 求得的 a n , 若当 n= 1 时 , a 1 的值不等于 S 1 的值 , 则数列的 通项 公式应采用分段表示 , 即 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n =n 2 + 2, 求数列 { a n } 的通项公式 . 解 : a 1 =S 1 = 1 + 2 = 3, ① 而 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = ( n 2 + 2) - [( n- 1) 2 + 2] = 2 n- 1 . ② 在 ② 中 , 当 n= 1 时 ,2 × 1 - 1 = 1, 故 a 1 不适合 ② 式 . ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由递推公式求前若干 项 分析 : 由 a 1 的值和递推公式 , 分别逐一求出 a 2 , a 3 , a 4 , a 5 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法 根据递推公式写出数列的前几项 , 要弄清楚公式中各部分的关系 , 依次代入计算即可 . 另外 , 解答这类问题时还需注意 : 若已知首项 , 通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式 ; 若已知末项 , 通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知数列 { a n } 满足 a n = 4 a n- 1 + 3, 且 a 1 = 0, 则此数列的第 5 项是 ( 　　 ) A.15 B.255 C.16 D.63 解析 : 因为 a 1 = 0, 所以 a 2 = 4 a 1 + 3 = 3, a 3 = 4 a 2 + 3 = 15, a 4 = 4 a 3 + 3 = 63, a 5 = 4 a 4 + 3 = 255 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由递推公式求数列的通项 公式 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 由递推公式求通项公式常用的方法有两种 : (1) 累加法 : 当 a n =a n- 1 +f ( n ) 时 , 常用 a n = ( a n -a n- 1 ) + ( a n- 1 -a n- 2 ) + … + ( a 2 -a 1 ) +a 1 求通项公式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由数列的前 n 项和求通项公式 例 3 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n =- 2 n 2 + 10 n , 求数列 { a n } 的通项公式 . 解 : ∵ S n =- 2 n 2 + 10 n , ∴ S n- 1 =- 2( n- 1) 2 + 10( n- 1), ∴ a n =S n -S n- 1 =- 2 n 2 + 10 n+ 2( n- 1) 2 - 10( n- 1) =- 4 n+ 12( n ≥ 2) . 当 n= 1 时 , a 1 =- 2 + 10 = 8 =- 4 × 1 + 12 . 此时满足 a n =- 4 n+ 12, ∴ a n = 12 - 4 n. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 试求本例中 S n 的最大值 . 又 ∵ n ∈ N * , ∴ 当 n= 2 或 n= 3 时 , S n 最大 , 即 S 2 或 S 3 最大 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 函数思想在数列中的应用 典例 在数列 { a n } 中 , a n = 3 n 2 - 14 n- 8, 求该数列的最小项 . 方法总结 解决数列问题时 , 可以借鉴函数的方法 , 但必须注意数列相对函数的特殊性 , 尤其是数列中的项数 n 只能取正整数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知数列 { a n }, a n- 1 =ma n + 1( n> 1), 且 a 2 = 3, a 3 = 5, 则实数 m 等于 ( 　　 ) A.0 B. C.2 D.5 解析 : 由题意 , 得 a 2 =ma 3 + 1, 即 3 = 5 m+ 1, 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若数列 { a n } 的通项公式为 a n =- 2 n 2 + 25 n , 则数列 { a n } 的各项中最大项是 ( 　　 ) A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n =n- 5 a n + 23, n ∈ N * , 则数列 { a n } 的通项公式 a n = ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 求三角形数数列 1,3,6,10, … 的通项公式 . 解 : 用 { a n } 表示该数列 , 则 a 2 -a 1 = 2, a 3 -a 2 = 3, a 4 -a 3 = 4, … , a n -a n- 1 =n ( n ≥ 2) . 以上各式两边分别相加 , 得 a n -a 1 = 2 + 3 + 4 + … +n. ∵ a 1 = 1,