高中数学第二章数列2_3_1等比数列学案新人教B版必修51 7页

2.3.1 等比数列 1．理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列． 2．掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题． 3．了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的定义 如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列 就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母________表示．定义表 达式为__________． (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不能为 0. (2)对于公比 q，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄 颠倒． (3)“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第 2 项 起，而是从第 3 项或第 4 项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列， 这时可以说此数列从第 2 项起或第 3 项起是等比数列． (4)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与 n 无关的常数，但 却是不同的常数，这时此数列不是等比数列． 【做一做 1】下列数列中，等比数列的个数是______________． ①－1，－2，－4，－8；②1，－ 3，3，－3 3；③1,1,1,1；④a，a，a，a. 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则通项公式为____________．其中，a1，q 均不 为 0. 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 的另外一种形式为 an＝am·qn－m. 【做一做 2】在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比 q 为( )． A．2 B．3 C．4 D．8 3．等比中项 如果 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项， 即______．等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项， 即 a2 n ＝an－1an＋1，反过来，如果 a，b 同号，G＝ ab或－ ab，即 G2＝ab，那么 G 是 a，b 的 等比中项． (1)x，G，y 成等比数列等价于“G2＝xy”(x，y 均不为 0)，可以用它来判断或证明三数 成等比数列，要注意“x，G，y 成等比数列”与“G＝ xy”是不等价的，而应与“G＝± xy” 等价． (2)当 x，y 同号时，x，y 的等比中项有两个，异号时没有等比中项． (3)在任意两个非零实数 x 和 y 之间，也可以插入 n 个数使之成为等比数列．但要注意： 在实数范围内，当 xy＞0 时，x，y 之间可以插入任意个数；当 xy＜0 时，在 x 和 y 之间只 能插入偶数个数使之成为等比数列． 【做一做 3】若 2＋ 3，x,2－ 3成等比数列，则 x 的值是( )． A．1 B．－1 C．±1 D．2 一、解读等比数列的主要性质 剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性 质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下 性质： (1)两个等比数列的积仍为等比数列． (2)在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq. (3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积． (4)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比 数列，公比为 qk＋1. (5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为 lg q 的等差数列． (6)当 m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap 成等比数列． (7)等比数列{an}中，若公比为 q，则数列{λan}仍是公比为 q 的等比数列；若{bn}是公 比为 q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为 q·q′的等比数列；数列{1 an }是公比为1 q 的等 比数列；{|an|}是公比为|q|的等比数列． 二、求数列通项公式的方法 剖析：1.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式， 求得 a1，d(或 q)，直接套用公式即可． 2．若已知数列的前 n 项和求通项时，通常用公式 an＝ S1， n＝1， Sn－Sn－1，n≥2， 用此公式时 我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”， 即 a1 和 an(n≥2)合为一个表达式． 3．对于形如 an＋1＝an＋f(n)型或形如 an＋1＝f(n)an 型的数列，其中 f(n)是等差数列或等 比数列，可以根据递推公式，写出 n 取 1 到 n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加 (或相乘)即可得到通项公式． 4．有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差 数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法．例如：在数列{an}中， a1＝1，a2＝2，an＋2＝2 3 an＋1＋1 3 an，我们在上式的两边减去 an＋1，得 an＋2－an＋1＝－1 3 (an＋1－an)， 即可构造一个等比数列来解决问题． 当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化 成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项． 三、教材中的“？” 1．为什么 q≠0？等比数列中的项有可能等于 0 吗？ 剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为 0，除数也不可能为 0，故 q≠0，在等比数列中，各项都不会为 0. 2．等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公 式？ 剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式， 然后利用迭乘的方法证明得 an＝a1qn－1. 3．你能通过公比 q 的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？ 剖析：当 a1＞0，q＞1 或 a1＜0,0＜q＜1 时，数列{an}为递增数列； 当 a1＞0,0＜q＜1 或 a1＜0，q＞1 时，数列{an}为递减数列； 当 q＝1 时，数列{an}为常数列； 当 q＜0 时，数列{an}为摆动数列． 四、教材中的“思考与讨论” 对于例 3 中的数列，你是否发现 a5，a10，a15，a20 恰好成等比数列？你能说出其中的道 理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？ 剖析：在已知数列中，每隔 k 项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等 比数列． 题型一 等比数列定义的应用 【例 1】已知数列的通项公式为 an＝3×2n，试问：这个数列是否为等比数列？ 分析：可用定义法、等比中项法证明． 反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明．常 用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：an＋1 an ＝q(常数)；(2)等比中项法：a2 n＋1＝anan＋2(an≠0)． 题型二 等比数列的通项公式的应用 【例 2】在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n. 分析：先将条件转化为关于基本元素 a1 与 q 的方程组，求出 a1 和 q，再表示其他量． 反思：a1 和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，解法 一是常规解法，先求 a1，q，再求 an，解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求 a1 和 q，这也是常见的解法． 题型三 等比数列性质的应用 【例 3】已知数列{an}为等比数列，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． 分析：本题主要考查等比数列的性质“若 p＋q＝2n，则 ap·aq＝a2 n(p，q，n∈N＋)”的 应用． 反思：若三个数成等比数列，则可设为a q ，a，aq，当然也可设为 a，aq，aq2.若四个数 成等比数列，则可设为 a，aq，aq2，aq3，但不能设为a q3，a q ，aq，aq3，因为这个数列的公比 为 q2，漏掉了公比为负值的情况． 题型四 构造等比数列求通项公式 【例 4】(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，求通项公式 an. (2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ 2an an＋1 ，求通项公式 an. (3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝a2 n，求通项公式 an. 分析：对所给递推关系进行适当的变形，构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题．构造 等比数列的方法一般有：配常数、取倒数、取对数等． 反思：有些数列本身并不是等差、等比数列，但是通过适当的变形，可以构造出等差、 等比数列．因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式，以及对应方法． 题型五 易错辨析 【例 5】在等比数列{an}中，若 a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )． A．3 B．9 C．±3 D．±9 错解：∵{an}为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a1a9. ∴(a1a9)2＝81.∴a1a9＝±9.故选 D. 错因分析：忽视了在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件． 【例 6】已知一个等比数列的前四项之积为 1 16 ，第 2 项与第 3 项的和为 2，求这个等比 数列的公比． 错解：依题意，设这四个数为a q3，a q ，aq，aq3， 则 a4＝ 1 16 ， a q ＋aq＝ 2. ① ② 由①得 a＝±1 2 ， 代入②并整理， 得 q2±2 2q＋1＝0， 解得 q＝ 2±1 或 q＝－ 2±1， ∴原等比数列的公比为 q2＝3＋2 2或 q2＝3－2 2. 错因分析：从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个 数为a q3，a q ，aq，aq2，公比为 q2，就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么同为负， 而题设中无此规定． 1 给出下列命题：(1)若 a －b ＝－b c ，则－a，b，－c 成等比数列(abc≠0)；(2)若 b2＝ac， 则 a，b，c 成等比数列；(3)若 an＋1＝anq(q 为常数)，则{an}是等比数列．其中正确的命题有 ( )． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2 在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则 a5＝( )． A．±4 B．4 C．6 D．－4 3 在等比数列{an}中，公比为 q，若 am＝xan，则 x 等于( )． A．q B．qn－m C．qm－n D．1 4 在等比数列{an}中，a3＝4 3 ，a5＝8 3 ，则 a10＝________. 5 在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插 入的两个数是________． 答案： 基础知识·梳理 1．第 2 项 同一个常数 公比 q(q≠0) an an－1 ＝q(n≥2) 【做一做 1】3 若常数列的各项不为零，那么它也是等比数列，所以③是等比数列； ①是首项为－1，公比为 2 的等比数列；②是首项为 1，公比为－ 3的等比数列；④中 a 的 值没确定，当 a＝0 时，这四个数不能构成等比数列． 2．an＝a1qn－1 【做一做 2】A 由等比数列的通项公式，有 a4＝a1·q3，即 64＝8×q3，所以 q＝2. 3．G2＝ab 【做一做 3】C 由题意，得 x2＝(2＋ 3)(2－ 3)＝1，∴x＝±1. 典型例题·领悟 【例 1】解：解法一：∵an＋1 an ＝3×2n＋1 3×2n ＝2(常数)， ∴{an}是等比数列． 解法二：∵an＋1＝3×2n＋1，an＋2＝3×2n＋2， an·an＋2＝3×2n×3×2n＋2＝9×22n＋2＝a2 n＋1， ∴{an}是等比数列． 【例 2】解：(1)解法一：因为 a4＝a1q3， a7＝a1q6， 所以 a1q3＝2， a1q6＝8. ① ② 由② ① ，得 q3＝4，从而 q＝ 3 4，而 a1q3＝2， 于是 a1＝2 q3＝1 2 ，所以 an＝a1qn－1＝22n－5 3 . 解法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4. 所以 an＝a4qn－4＝2·( 3 4)n－4＝22n－5 3 . (2)解法一：因为 a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ③ a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ④ 由④ ③ ，得 q＝1 2 ，从而 a1＝32. 又 an＝1，所以 32(1 2 )n－1＝1，即 26－n＝20， 所以 n＝6. 解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝1 2 . 由 a1q＋a1q4＝18，得 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，得 n＝6. 【例 3】解：解法一：∵a1a3＝a2 2，∴a1·a2·a3＝a3 2＝8.∴a2＝2. 从而 a1＋a3＝5， a1a3＝4， ∴ a1＝1， a3＝4 或 a1＝4， a3＝1. ∴ a1＝1， q＝2 或 a1＝4， q＝1 2 . ∴an＝2n－1 或 an＝23－n. 解法二：由 a1a2a3＝8，得 a2＝2. 将 a2＝a1q，a3＝a1q2 代入 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8， 可得 a1(1＋q＋q2)＝7， a1q＝2， 解得 a1＝1， q＝2 或 a1＝4， q＝1 2 . 故可得 an＝2n－1 或 an＝23－n. 解法三：∵数列{an}为等比数列， ∴a2 2＝a1·a3. 代入 a1a2a3＝8，得 a3 2＝8，∴a2＝2. 不妨设等比数列的前三项为2 q ，2,2q， 则有2 q ＋2＋2q＝7， 整理得 2q2－5q＋2＝0， 解得 q＝2 或 q＝1 2 . ∴ a1＝1， q＝2 或 a1＝4， q＝1 2 . ∴an＝2n－1 或 an＝23－n. 【例 4】解：(1)由 an＋1＝2an＋1，可得 an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴an＋1＋1 an＋1 ＝2. ∴{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列． ∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n，即 an＝2n－1. (2)由 an＋1＝ 2an an＋1 ，可得 1 an＋1 ＝1 2 ＋1 2 ·1 an ， ∴ 1 an＋1 －1＝1 2 (1 an －1)． ∴{1 an －1}是首项为1 a1 －1＝－1 2 ，公比为1 2 的等比数列．∴1 an －1＝－1 2 ·(1 2 )n－1＝－(1 2 )n. ∴an＝ 1 1－(1 2 )n . (3)由 a1＝3，an＋1＝a2 n，可得 an＞0，∴lg an＋1＝2lg an. ∴lg an＋1 lg an ＝2. ∴{lg an}是首项为 lg a1＝lg 3，公比为 2 的等比数列． ∴lg an＝lg a1·2n－1＝lg 32n－1. ∴an＝32n－1. 【例 5】正解：∵a3a7＝a4a6＝a1a9，∴(a1a9)2＝81.∴a1a9＝±9.∵在等比数列{an}中，奇 数项(或偶数项)的符号相同，∴a1，a9 同号，∴a1a9＝9，故选 B. 【例 6】正解：依题意，设这四个数为 a，aq，aq2，aq3， 则 a4q6＝ 1 16 ， aq＋aq2＝ 2. 解得 q＝3±2 2或 q＝5±2 6. 随堂练习·巩固 1．B (1)显然正确；(2)中，abc＝0 时不成立；(3)中 q＝0 时不成立．故选 B. 2．B 3．C ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴a1qm－1＝xa1qn－1，∴x＝qm－n. 4．±32 2 3 根据等比数列的定义，灵活运用结论：am＝anqm－n，可得a5 a3 ＝q2＝2，∴q＝ ± 2.∴a10＝a5·q5＝±4 2·8 3 ＝±32 2 3 . 5．6,18 设插入的两数依次为 a，b，∴a2＝2b,2b＝a＋30. ∴a2－a－30＝0.∴a＝6.∴b＝18.