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- 2021-06-16 发布
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南海区2020届高三年级综合能力测试
文科数学
本试卷4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷的规定位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置.上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为,集合,,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交集与补集的定义求解即可.
【详解】解:∵,集合,
∴,
又,
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查集合的交集与补集运算,属于基础题.
2.复数满足,则复数在复平面内所对应的点在( )
- 23 -
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.
【详解】设,则,
,
所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.
故选:B
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间上是减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数和减函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】解:A,是偶函数,但在上是增函数,故A错;
B,是偶函数,在上是减函数,故B对;
C,是偶函数,但在上是增函数,故C错;
D,偶函数,但在上是增函数,故D错;
故选:B.
【点睛】本题主要考查偶函数与减函数的定义及判断,属于基础题.
4.抛物线的准线与轴交点为,过点与抛物线相切的直线方程为( )
- 23 -
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出点的坐标,设切点坐标为,利用导数求切线方程.
【详解】解:由题意,抛物线的准线为,则,
由得,求导得,
设切点坐标为,则,解得,
∴切线斜率为,
∴切线方程为,即或,
故选:D.
【点睛】本题主要考查过点的曲线的切线方程,属于基础题.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
- 23 -
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断的奇偶性,即可排除B,C;再由,即可排除D.
【详解】由题,显然定义域为,设,则,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,排除B,C;且当时,,排除D,
故选:A
【点睛】本题考查图象的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题.
6.已知数列的前项和(,),则“”是“数列为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得:,结合等比数列定义即可得到结果
【详解】解:∵,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=()﹣()=,
∴
又,
∴当n≥2时,数列为等比数列,
要使数列为等比数列,则
即 ,∴;
- 23 -
反之,显然,又,
∴数列等比数列,
∴“”是“数列为等比数列”的充要条件
故选C
【点睛】本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.
7.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.
【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,
由,可知若,则必有,
故选:C
【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
8.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出以下四个命题
①的一个周期为;②的值域为;
- 23 -
③的一条对称轴是;④的一个对称中心是
其中正确的命题个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据降幂公式化简函数,再得到函数的解析式,再根据三角函数的性质判断各命题.
【详解】解:由题意得,则,
∴函数的最小正周期,则它的周期为,①对;
∵,∴的值域为,②对;
由得函数的对称轴是,③对;
由得函数的对称中心是,④对;
∴正确的命题有4个,
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,属于基础题.
9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是( )
- 23 -
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.
【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,
所以所求概率,
故选:D
【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.
10.已知三棱锥且平面,其外接球体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,
- 23 -
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
11.若的解集非空且最多有3个正整数根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由得,令,利用导数研究其单调性与最值,由此可得出结论.
【详解】解:由得,
令,则,
由得,
- 23 -
∴函数在上单调递减,在上单调递增,
∴函数在处取得极小值,
又,
∵的解集非空且最多有3个正整数根,
∴,
故选:A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查推理能力与计算能力,属于难题.
12.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.
【详解】,所以离心率,
又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,
而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,
- 23 -
所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选:B
【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知向量,,且满足,则__________.
【答案】;
【解析】
【分析】
由题意得,代入坐标进行计算即可.
【详解】解:∵,
∴,
又,,
∴,即,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算,属于基础题.
14.在中,,,,则__________.
【答案】;
【解析】
【分析】
先根据内角和求出,再利用正弦定理求解即可.
- 23 -
【详解】解:∵,∴,
又,
∴,
由正弦定理得,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,属于基础题.
15.在棱长为1的正方体中,点是底面内的动点,,则动点的轨迹的面积为__________,动线段的轨迹所形成几何体的体积是__________.
【答案】 (1). (2). ;
【解析】
【分析】
由题意得点的轨迹是以为圆心,1为半径的个圆和圆的内部,再根据扇形的面积公式以及圆锥的体积公式求解即可.
【详解】解:∵,∴,
即点的轨迹是以为圆心,1为半径的个圆和圆的内部,
- 23 -
∴的轨迹的面积为,
的轨迹所形成几何体为个圆锥,其体积为,
故答案为:;.
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式与圆锥的体积公式,属于基础题.
16.点在曲线:上,过作轴垂线,设与曲线交于点,若,且点的纵坐标始终为0,则称点为曲线上的“水平黄金点”,则曲线上的“水平黄金点”的个数为__________.
【答案】2.
【解析】
【分析】
设,得,得,令,利用导数得单调性与最值,从而得出结论.
【详解】解:设,则直线的方程为,由题意得,
∴,
∴,
令,则,
由得,
∴函数在上单调递减,在上单调递增,
∴函数在处取得最小值,且,
∴函数有两个零点,则曲线上的“水平黄金点”的个数为2,
- 23 -
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值,属于难题.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题(60分)
17.已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求证:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用累加法可求得答案;
(2)由(1)可知,利用放缩,再根据裂项相消法即可得出证明.
【详解】(1)解:因为,
所以
因为,
所以;
(2)证明:由(1)可知.
因为,
所以.
- 23 -
【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式,考查裂项相消法求和,属于中档题.
18.在四棱锥中,,,,,平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)在棱上是否存在点,使平面,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)不存在;详见解析
【解析】
分析】
(1)取中点为,连接,可得,再由平面平面可得,则,由此可得结论;
(2)任取上一点,连接,过作直线平行于交于,连接,则,假设平面,可得与已知矛盾,由此得出结论.
【详解】(1)证:取中点为,连接,
- 23 -
因为,所以,
因为平面平面且相交于,
所以平面,所以,
因为,所以,
因为在平面内,所以,
所以;
(2)不存在.理由如下:
任取上一点,连接,
过作直线平行于交于,连接,则.
假设平面,
所以,
因为,所以四边形为平行四边形.
所以与已知矛盾.
所以棱上不存在点,使平面.
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定与性质,考查线面平行的判定与性质,属于中档题.
19.为了调查“双11”消费活动情况,某校统计小组分别走访了、两个小区各20户家庭,他们当日的消费额按,,,,,,分组,分别用频率分布直方图与茎叶图统计如下(单位:元):
- 23 -
(1)分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在的频率,并补全频率分布直方图;
(2)分别从两个小区随机选取1户家庭,求这两户家庭当日消费额在的户数为1时的概率(频率当作概率使用);
(3)运用所学统计知识分析比较两个小区的当日网购消费水平.
【答案】(1)频率为;作图见解析(2)(3)A小区当日网购的平均消费水平比B小区高,且消费水平的分化程度比B小区小
【解析】
【分析】
(1)利用频率之和为1以及频率的计算公式即可求得答案;
- 23 -
(2)由题意可知,当日消费额均在的概率分别为,,再根据条件概率的计算公式求解即可;
(3)利用平均消费水平比较即可.
【详解】解:(1)A小区这20户家庭当日消费额在的频率为,
B小区这20户家庭当日消费额在的频率为,
补全频率分布直方图如下
(2)由题意可知,分别从两个小区随机选取1户家庭,
当日消费额均在的概率分别为,,
分别从两个小区随机选取1户家庭,这两户家庭当日消费额均在的户数为为事件,则;
(3)A小区当日网购的平均消费水平比B小区高,且消费水平的分化程度比B小区小.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图的应用,属于基础题.
20.已知椭圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点,点与点关于坐标原点对称.连接.求证:存在实数,使得成立.
- 23 -
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由点可得,由,根据即可求解;
(2)设直线的方程为,联立可得,设,由韦达定理可得,再根据直线的斜率公式求得;由点B与点Q关于原点对称,可设,可求得,则,即可求证.
【详解】解:(1)由题意可知,,
又,得,
所以椭圆的方程为
(2)证明:设直线的方程为,
联立,可得,
设,
则有,
因为,
所以,
又因为点B与点Q关于原点对称,所以,即,
- 23 -
则有,由点在椭圆上,得,所以,
所以,即,
所以存在实数,使成立
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力.
21.已知
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
【答案】(1)在递增(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)当时,利用二阶导可得,由此可得答案;
(2)由题意得存在且使,即,结合条件得,令,利用导数可得,由此得,从而求得答案.
【详解】(1)解:当时,,
∴,
- 23 -
所以在递增,
所以,
所以在递增;
(2)证:,
存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,
即存在且使,
由可得:,
因为,
由(1)可知,可得:,
所以,
令,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,
则,
所以,
可得,
所以.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与能成立问题,考查转化与化归思想,属于难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
- 23 -
22.已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的极坐标方程;
(2)点是曲线上的一点,试判断点与曲线的位置关系.
【答案】(1)(2)点在曲线外.
【解析】
【分析】
(1)先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程;
(2)由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】(1)由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
(2)由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
23.已知,且.
(1)请给出的一组值,使得成立;
(2)证明不等式恒成立.
【答案】(1)(答案不唯一)(2)证明见解析
【解析】
【分析】
- 23 -
(1)找到一组符合条件的值即可;
(2)由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证.
【详解】解析:(1)(答案不唯一)
(2)证明:由题意可知,,因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.
- 23 -
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