河北省石家庄市第二中学2020届高三6月高考全仿真数学（文）试题 Word版含解析 24页

‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（模拟）‎ 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集的定义与集合B求交集.‎ ‎【详解】由得，‎ 则，又由得.‎ 所以，而.‎ 从而.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.满足条件的复数对应点的轨迹是（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令，代入化简可得，从而可得其轨迹方程 ‎【详解】解：设，则由得，‎ ‎，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 化简得，，‎ 所以复数在复平面内对应的点为，‎ 所以对应点的轨迹为直线，‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题.‎ ‎3.已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以，‎ 因为在单调递减，所以，，所以 因为函数在上单调递增，所以，即，比较大小即可求解 ‎【详解】因为，所以.因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 ‎4.若，则=（ ）‎ A. B. 7 C. D. -7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角差的正切公式求出，再用诱导公式化简后可得．‎ - 24 -‎ ‎【详解】，.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查两角差的正切公式，考查诱导公式、同角间的三角函数关系，三角函数化简求值一般是先化简再求值．要观察已知角与未知角的关系以确定选用的公式．‎ ‎5.某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数为，可知，从而得到平均数小于等于，从而确定结果.‎ ‎【详解】已知的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，‎ 该学生这次考试成绩的中位数为，则 所以平均数：，可知不可能为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查统计中的中位数、平均数问题，关键是通过中位数确定取值范围，从而能够得到平均数的范围.‎ ‎6.已知函数的部分图像如图所示，则可能的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象可判断函数的奇偶性，再根据函数在的函数值，一一判断可得；‎ ‎【详解】解：由函数图象可得，函数图象关于原点对称，故函数为奇函数，‎ 对于A： 为偶函数，不满足条件；‎ 同理可判断C也不满足条件，‎ 对于B：当时，，，故，满足条件；‎ 对于D：当时，，，故，不满足条件；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这种类型的问题一般选择排除法，属于基础题.‎ ‎7.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )‎ - 24 -‎ A. 是偶数?，? B. 是奇数?，?‎ C. 是偶数?， ? D. 是奇数?，?‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填，故选D.‎ ‎8.下列判断正确的个数是（ ）‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件 ‎②函数的最小值为2‎ ‎③当，时，命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎④命题“，”的否定是“，”‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论.‎ ‎【详解】解：对于①，当时，不能得到，所以“”不是“”的充分不必要条件，所以①错误；‎ 对于②，由基本不等式得，，而不成立，所以取不到等号，所以②错误；‎ 对于③，命题“若，则”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确；‎ 对于④，命题“，”的否定为“，”，所以④错误 所以正确的有1个，‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则（ ）‎ A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象相邻的最高点之间的距离为，得到，易得.将函数的图象向左平移个单位长度后，可得，再根据是奇函数，得到，然后逐项验证即可.‎ ‎【详解】因为函数图象相邻的最高点之间的距离为，‎ 所以其最小正周期为，则.‎ 所以.‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 可得的图象，‎ 又因为是奇函数，令，‎ 所以.又，‎ 所以.‎ 故.‎ 当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；‎ 当时，，故的图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；‎ 在上，，单调递增，故C正确；‎ 在上，，单调递减，故D错误.‎ 故选：C - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，‎ 因为，在双曲线上，‎ 所以根据双曲线性质可知，，即，，‎ 因为圆的半径为，是圆的半径，所以，‎ 因为，，，，‎ 所以，三角形是直角三角形，‎ - 24 -‎ 因为，所以，，即点纵坐标为，‎ 将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，‎ 将点坐标带入双曲线中可得，‎ 化简得，，，，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．‎ ‎11.过正方体的顶点作平面，使每条棱在平面的正投影的长度都相等，则这样的平面可以作（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每条棱在平面的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面所成角都相等，从而棱，，所在直线与平面所成的角都相等，三棱锥是正三棱锥,直线，，与平面所成角都相等，过顶点作平面平面，由此能求出这样的平面的个数.‎ ‎【详解】在正方体中，每条棱在平面的正投影的长度都相等每条棱所在直线与平面所成的角都相等棱所在直线与平面所成的角都相等，易知三棱锥是正三棱锥，直线与平面所成的角都相等.过顶点作平面平面，则直线与平面所成的角都相等.同理，过顶点分别作平面与平面、平面、平面平行，直线与平面所成的角都相等.所以这样的平面可以作4个，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题 - 24 -‎ ‎12.已知 ，若有四个不同的实根，且，则的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：因为题设有个变量，故利用分段函数的图像可得，，所以就可化成关于的函数，最后根据有四个不同的实数根得到的取值范围即得的取值范围．‎ 详解：由题设，有在上有两个不同的解，在上有两个不同的解．‎ 当时， ，故，‎ 因，故，‎ 所以即且．‎ 当时， ， 且．‎ 所以，故选A ．‎ 点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断的取值范围．‎ 二.填空题 ‎13.曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，计算，得到切线方程.‎ ‎【详解】，故，‎ 故所求切线方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.‎ ‎14.已知平面向量满足，，，则与的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得与的夹角的余弦值,进而求得与的夹角即可.‎ ‎【详解】因为,则 因为,等式两边同时平方可得 代入,可得 设夹角为,则 由平面向量数量积的定义可得 ‎ 因为 所以 - 24 -‎ 故答案: ‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.‎ ‎15.设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解.‎ ‎【详解】当时，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以当时，，‎ 当时，，不满足上式，‎ 故，‎ - 24 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.‎ ‎16.四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又，则，四棱锥的体积取值范围为.‎ 三.解答题 ‎（一）必考题：‎ ‎17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2bcosC+csinB．‎ ‎（Ⅰ）求tanB；‎ ‎（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．‎ ‎【答案】（Ⅰ）tanB＝2；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值.‎ ‎（II）由的值求得的值，从而求得的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得也即的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵2a＝2bcosC+csinB，利用正弦定理可得：2sinA＝2sinBcosC+sinCsinB，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，‎ 化为：2cosB＝sinB≠0，∴tanB＝2．‎ ‎（Ⅱ）∵tanB＝2，B∈（0，π），可得sinB，cosB．‎ ‎∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC．‎ ‎∴，可得：a．又absin6，可得b．‎ ‎∴a，即，解得＝．‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎18.四棱锥如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，，，平面ABCD，，AC与BD交于点G，，点M线段SA上.‎ ‎（1）若直线平面MBD，求的值；‎ - 24 -‎ ‎（2）若，求点A到平面SCD的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接MG，直线平面MBD，可推出，从而得，而由已知条件可得，进而可得的值；‎ ‎（2）在平面SAD内作于点N，可得平面SCD，于是求出的值就是点A到平面SCD的距离，结合已知条件在利用面积法可求解.‎ ‎【详解】解：（1）连接MG.‎ ‎，，且AB，CD在同一平面内，，‎ 设，，得，‎ 平面MBD，平面平面，平面SAC，，‎ 故；‎ ‎（2）在平面SAD内作于点N 平面ABCD ，‎ 又，，得平面SAD.‎ 平面SAD，.又，‎ 平面SCD.‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎∴，又，‎ ‎，‎ 则，而，，求得，‎ ‎，‎ 即点A到平面SCD的距离为.‎ ‎【点睛】此题考查线面平行的性质和线面垂直的判定，考查了点到面的距离，考查了推理和计算能力，属于中档题.‎ ‎19.年月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，下图是年月日至月日累计确诊人数随时间变化的散点图．‎ 为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数与时间变量的两个回归模型，根据月日至月日的数据（时间变量的值依次，，…，‎ - 24 -‎ ‎）建立模型和．‎ 参考数据：其中，．‎ ‎（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）以下是月日至月日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：‎ 时间 月日 月日 月日 月日 月日 累计确诊人数的真实数据 ‎（i）当月日至月日这天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？‎ ‎（ii）年月日在人民政府的强力领导下，全国人民共同取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？并说明理由.‎ 附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；（2）（3）（i）可靠；（ii）有效，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图直接得到答案.‎ ‎（2）设，则，根据最小二乘法公式代入数据计算得到答案.‎ ‎（3）（i）取，，，代入回归方程计算比较得到答案.‎ ‎（ii）取，代入回归方程比较得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据散点图可知：‎ 适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型； ‎ ‎（2）设，则，‎ ‎， ，‎ ‎；‎ ‎（3）（i）当时，，，‎ 当时，， ‎ 当时，，，‎ ‎（2）的回归方程可靠； ‎ ‎（ii）当时，，远大于真实值，故防护措施有效．‎ ‎【点睛】本题考查了求回归方程，回归方程的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线 - 24 -‎ 分别与轴交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a、b，即可写出椭圆方程；（2）设出直线的方程与点的坐标，求出直线BP、BQ的方程进而求出点M、N的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于、的表达式，直线的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出、，代入横坐标的乘积化简即可证明.‎ ‎【详解】（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，‎ ‎①，又由，化简得②，‎ ‎①②两式联立解得：或（舍去），，‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，的坐标分别为 则直线的方程为，令，得点的横坐标，‎ - 24 -‎ 直线的方程为，令，得点的横坐标，‎ 把直线代入椭圆得，‎ 由韦达定理得，‎ ‎∴，是定值．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题.‎ ‎21.已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，（其中），且的取值范围为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题；‎ ‎（2）利用韦达定理得到，，将转化成关于的表达式，再利用换元法令，从而构造函数，根据函数的值域可得自变量的范围，进而得到的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：（1）.‎ 令，则.‎ ‎①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.‎ ‎②当，即时，‎ 由，得或；‎ 由，得，‎ ‎∴在和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，和上单调递增，‎ 在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.‎ 由（1）得，为的两根，所以，.‎ 所以 ‎.‎ 令，则，‎ 因为，‎ 所以在上单调递减，而，，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 又，易知在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.‎ 二.选考题：‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），点的坐标为．‎ ‎（1）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程．‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由即得动点的轨迹方程；（2）由题得直线的参数方程可设为（为参数），代入曲线的普通方程，得，再利用直线参数方程t的几何意义求解.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）设，， ‎ 则由，得， ‎ 即 ‎ 消去，得，此即为点的轨迹方程. ‎ ‎（2）曲线的普通方程为，直线的普通方程，‎ 设为直线的倾斜角，则，，‎ 则直线的参数方程可设为（为参数）， ‎ 代入曲线的普通方程，得， ‎ 由于， ‎ 故可设点对应的参数为，，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.（1）已知，且，证明：；‎ ‎（2）已知，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合代人所证不等式的左边中的分子,‎ - 24 -‎ 通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可 ‎（2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可 ‎【详解】证明：（1）‎ ‎，‎ 当时等号成立.‎ ‎（2）因为，‎ 又因为，所以，，，‎ ‎.‎ 当时等号成立，即原式不等式成立.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想 - 24 -‎