2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识2 28页

2.2 　全称量词与存在量词 激趣诱思 知识点拨 在某个城市中有一位理发师 , 他的广告词是这样写的 :“ 本人的理发技艺十分高超 , 誉满全城 . 我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸 , 我也只给这些人刮脸 . 我对各位表示热诚欢迎 !” 来找他刮脸的人络绎不绝 , 自然都是那些不给自己刮脸的人 . 可是 , 有一天 , 这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了 , 他本能地抓起了剃刀 , 你们看他能不能给他自己刮脸呢 ? 如果他不给自己刮脸 , 他就属于 “ 不给自己刮脸的人 ”, 他就要给自己刮脸 , 而如果他给自己刮脸呢 ? 他又属于 “ 给自己刮脸的人 ”, 他就不该给自己刮脸 . 这就是著名的 “ 罗素理发师悖论 ” 问题 , 如果 我们学习了全称量词命题与 存在 量词 命题的知识 , 就可以通过逻辑 进行 分析 了 . 激趣诱思 知识点拨 一、全称量词与全称量词命题 1 . 全称量词命题 : 在给定集合中 , 断言 　　　　　 都具有同一性质的命题叫作全称量词命题 .   2 . 全称量词 : 在命题中 , 诸如 “ 所有 ”“ 每一个 ”“ 任意 ”“ 任何 ”“ 一切 ” 这样的词叫作全称量词 . 用 符 号 “ 　　 ” 表示 , 读作 “ 对任意的 ” .   名师点 析 1. 全称量词 命题表示的数量可能是无限的 , 也可能是有限的 , 由题目而定 . 2. 一 个全称量词命题可以包含多个变量 , 如 “ ∀ x , y ∈ R , x 2 +y 2 ≥ 0” . 3. 有时 全称量词是省略的 , 理解时需要把它补充出来 . 如 :“ 正方形是矩形 ” 应理解为 “ 所有的正方形是矩形 ” . 所有 元素 ∀ 激趣诱思 知识点拨 微练习 给出下列命题 : ① 有的质数是偶数 ; ② 在平面内与同一直线所成角相等的两条直线平行 ; ③ 存在一个三角形三个内角都相等 ; ④ 对于实数 a , b , |a- 1 |+|b- 1 |> 0 . 其中是全称量词命题的为 　　　　 , 是存在量词命题的为 　　　　 , 真命题为 　　　　 . ( 填序号 )   ② ④ ① ③ ① ③ 激趣诱思 知识点拨 二、存在量词与存在量词命题 1 . 存在量词命题 : 在给定集合中 , 断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 . 2 . 存在量词 : 在命题中 , 诸如 “ 有些 ”“ 有一个 ”“ 存在 ” 这样的词叫作存在量词 . 用 符 号 “ ∃ ” 表示 , 读作 “ 存在 ” . 名师点 析 1. 含有 存在量词的命题 , 不管包含的程度多大 , 都是存在量词命题 . 2. 一 个存在量词命题可以包含多个变量 , 如 “ ∃ a , b ∈ R ,( a+b ) 2 = ( a-b ) 2 ” . 3. 有些 命题中虽然没有写出存在量词 , 但其意义具备 “ 存在 ”“ 有一个 ” 等特征的命题都是存在量词命题 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假 ? 提示 : (1) 存在量词命题的真假判断 ① 要判定存在量词命题 “ ∃ x ∈ M , p ( x )” 是真命题 , 只需在集合 M 中找到一个元素 x , 使 p ( x ) 成立即可 . ② 要判定一个存在量词命题是假命题 , 需对集合 M 中的任意一个元素 x , 证明 p ( x ) 都不成立 . (2) 全称量词命题的真假判断 ① 要判定全称量词命题 “ ∀ x ∈ M , r ( x )” 是真命题 , 需要对集合 M 中每个元素 x , 证明 r ( x ) 成立 ; ② 要判定全称量词命题 “ ∀ x ∈ M , r ( x )” 是假命题 , 只需举出一个反例 , 即在集合 M 中找到一个元素 x 0 , 使得 r ( x 0 ) 不成立 , 那么这个全称量词命题就是假命题 . 激趣诱思 知识点拨 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1 . 全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题 . 对于全称量词命题 p : ∀ x ∈ M , x 具有性质 p ( x ), 通常把它的否定表示为 ∃ x ∈ M , x 不具有性质 p ( x ) . 2 . 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是全称量词命题 . 对于存在量词命题 p : ∃ x ∈ M , x 具有性质 p ( x ), 通常把它的否定表示为 ∀ x ∈ M , x 不具有性质 p ( x ) . 激趣诱思 知识点拨 名师点 析 1. 含有 一个量词的命题与它的否定真假相反 . 所以当其中一个命题的真假不易判断时 , 可通过判断另一个命题的真假来得到 . 2. 含有 一个量词的命题的否定 , 是在否定结论 p ( x ) 的同时 , 改变量词的属性 , 即将全称量词改为存在量词 , 将存在量词改为全称量词 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 常见词语的 否定 微练习 (1) 命题 “ 存在一个三角形 , 内角和不等于 180 ° ” 的否定为 ( 　　 ) A. 存在一个三角形的内角和等于 180 ° B. 所有三角形的内角和都等于 180 ° C. 所有三角形的内角和都不等于 180 ° D. 很多三角形的内角和不等于 180 ° (2) 命题 “ ∀ x ∈ Z ,4 x- 1 是奇数 ” 的否定是 　　　　　　　　　　　　 .   B ∃ x ∈ Z ,4 x- 1 不是 奇数 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 全称量词命题与存在量词命题的辨析 例 1 判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题 . (1) 有些素数的和仍是素数 ; (2) 自然数的平方是正数 . 解 : 因为 (1) 含有存在量词 , 所以命题 (1) 为存在量词命题 ; 又因为 “ 自然数的平方是正数 ” 的实质是 “ 任意一个自然数的平方都是正数 ”, 所以 (2) 含有全称量词 , 故为全称量词命题 . 综上所述 :(1) 为存在量词命题 ,(2) 为全称量词命题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列命题中 , 是全称量词命题的是 　　　　　 , 是存在量词命题的是 　　　　　 . ( 填序号 )   ① 正方形的四条边相等 ; ② 有两个角是 45 ° 的三角形是等腰直角三角形 ; ③ 正数的平方根不等于 0; ④ 至少有一个正整数是偶数 . ①② ③ ④ 解析 : ①②③ 是全称量词命题 , ④ 是存在量词命题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例 2 判断下列命题的真假 . (1) ∃ x ∈ Z , x 3 < 1; (2) 存在一个四边形不是平行四边形 ; (3) 在平面直角坐标系中 , 任意有序实数对 ( x , y ) 都对应一点 P ; (4) ∀ x ∈ N , x 2 > 0 . 解 : (1) 这是存在量词命题 . 因为 - 1 ∈ Z , 且 ( - 1) 3 =- 1 < 1, 它是真命题 . (2) 这是存在量词命题 . 是真命题 , 如梯形是四边形 , 不是平行四边形 . (3) 这是全称量词命题 . 由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知 , 它是真命题 . (4) 这是全称量词命题 . 因为 0 ∈ N ,0 2 = 0, 所以命题 “ ∀ x ∈ N , x 2 > 0” 是假命题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1) 要判断一个全称量词命题为真 , 必须对在给定集合的每一个元素 x , 使命题 p ( x ) 为真 ; 但要判断一个全称量词命题为假时 , 只需在给定的集合中找到一个元素 x , 使命题 p ( x ) 为假 . (2) 要判断一个存在量词命题为真 , 只要在给定的集合中找到一个元素 x , 使命题 p ( x ) 为真 ; 要判断一个存在量词命题为假 , 必须对在给定集合的每一个元素 x , 使命题 p ( x ) 为假 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 指出下列命题中 , 哪些是全称量词命题 , 哪些是存在量词命题 , 并判断真假 . (1) 存在一个实数 , 它的绝对值不是正数 ; (2) 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 ; (3) 存在一个实数 x , 使得等式 x 2 +x+ 8 = 0 成立 .   解 : (2) 是全称量词命题 ,(1)(3) 是存在量词命题 . (1) 真命题 . 存在一个实数 0, 它的绝对值不是正数 . (3) 假命题 , 方程 x 2 +x+ 8 = 0 的判别式 Δ=- 31 < 0, 故方程无实数解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 全称量词命题与存在量词命题的否定 例 3 写出下列各命题的否定 . (1) p : 对任意的正数 x , > x- 1; (2) q : 三角形有且仅有一个外接圆 ; (3) r : 存在一个三角形 , 它的内角和大于 180 ° ; (4) s : 有些质数是奇数 . 分析 先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题 , 再写出相应的否定 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 命题 p 的否定 “ 存在正数 x , 使 ≤ x- 1” . (2) 命题 q 的否定 “ 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆 ” . (3) 命题 r 的否定 “ 所有三角形的内角和都小于或等于 180 ° ” . (4) 命题 s 的否定 “ 所有的质数都不是奇数 ” . 反思感悟 1 . 一般地 , 写含有一个量词的命题的否定 , 首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题 , 并找到量词及相应结论 , 然后把命题中的全称量词改成存在量词 , 存在量词改成全称量词 , 同时否定结论 , 即得其否定 . 2 . 对于省略量词的命题 , 应先挖掘命题中隐含的量词 , 改写成含量词的完整形式 , 再写出命题的否定 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 写出下列命题的否定 , 并判断其真假 . (1) p : ∀ x ∈ R , x 2 -x + ≥ 0; (2) q : 所有的正方形都是矩形 ; (3) r : ∃ x ∈ R , x 2 + 3 x+ 7 ≤ 0; (4) s : 至少有一个实数 x , 使 x 3 + 1 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ∴ 命题 p 的否定是假命题 . (2) 命题 q 的否定 “ 至少存在一个正方形不是矩形 ”, 是假命题 . (3) 命题 r 的否定 “ ∀ x ∈ R , x 2 + 3 x+ 7 > 0”, 是真命题 . ∴ 命题 r 的否定是真命题 . (4) 命题 s 的否定 “ 对任意实数 x , 使 x 3 + 1≠0”, 是假命题 . ∵ 当 x=- 1 时 , x 3 + 1 = 0, ∴ 命题 s 的否定是假命题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 根据命题的真假求参数的取值范围 例 4 已知命题 “ ∀ x ∈ R , x 2 +ax+ 1 ≥ 0” 是假命题 , 求实数 a 的取值范围 . 分析 若全称量词命题为假命题 , 通常转化为其否定形式 —— 存在量词命题为真命题来解决 ; 同理 , 若存在量词命题为假命题 , 通常转化为其否定形式 —— 全称量词命题为真命题来解决 . 解 : 因为全称量词命题 “ ∀ x ∈ R , x 2 +ax+ 1 ≥ 0” 的否定是 “ ∃ x ∈ R , x 2 +ax+ 1 < 0” . 由 “ 命题真 , 其否定假 ; 命题假 , 其否定真 ” 可知 , 这个否定形式的命题是真命题 . 由于 y=x 2 +ax+ 1 是开口向上的抛物线 , 借助二次函数的图象易知 Δ=a 2 - 4 > 0, 解得 a<- 2 或 a> 2 . 所以实数 a 的取值范围是 ( -∞ , - 2) ∪ (2, +∞ ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1) 对于全称量词命题 “ ∀ x ∈ M , a>y ( 或 ay max ( 或 ay ( 或 ay min ( 或 a 0”, 求实数 a 的取值范围 . 解 : (1) 由题意知 Δ ≤ 0, 则 a 2 - 4 ≤ 0, 得 - 2 ≤ a ≤ 2 . 所以实数 a 的取值范围为 [ - 2,2] . (2) 因为全称量词命题 “ ∀ x> 0, x 2 +ax+ 1 ≥ 0” 的否定形式为 :“ ∃ x> 0, x 2 +ax+ 1 < 0” . 由 “ 命题真 , 其否定假 ; 命题假 , 其否定真 ” 可知 , 这个否定形式的命题是真命题 . 由于 y=x 2 +ax+ 1 是开口向上的抛物线 , 解得 a<- 2, 所以实数 a 的取值范围是 ( -∞ , - 2 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 哥德巴赫猜想 1742 年 , 哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想 : 任一大于 2 的整数都可写成三个质数之和 . 但是哥德巴赫自己无法证明它 , 于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明 , 然而一直到死 , 欧拉也无法证明 . 如 今 数学界已经不使用 “1 也是素数 ” 这个 规 定 , 哥德巴赫猜想的现代陈述为 : 任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和 . ( n> 5: 当 n 为偶数 , n= 2 + ( n- 2), n- 2 也是偶数 , 可以分解为两个质数的和 ; 当 n 为奇数 , n= 3 + ( n- 3), n- 3 也是偶数 , 可以分解为两个质数的和 . ) 欧拉在回信中也提出另一等价版本 , 即任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和 . 把命题 “ 任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过 a 的个数与另一个素因子不超过 b 的个数之和 ” 记作 “ a+b ” . 1966 年陈景润证明了 “1 + 2” 成立 , 即 “ 任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和 , 或是一个素数和一个半素数的和 ” . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 今日 常见的猜想陈述为欧拉的版本 , 即任一大于 2 的偶数都可写成两个素数之和 , 亦称为 “ 强哥德巴赫猜想 ” 或 “ 关于偶数的哥德巴赫猜想 ” . 从 关于偶数的哥德巴赫猜想 , 可推出 : 任一大于 7 的奇数都可写成三个质数之和的猜想 . 后者称为 “ 弱哥德巴赫猜想 ” 或 “ 关于奇数的哥德巴赫猜想 ” . 若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的 , 则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的 . 2013 年 5 月 , 巴黎高等师范学院研究员哈洛德 · 贺欧夫各特发表了两篇论文 , 宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . (2020 四川眉山高一检测 ) 已知命题 p : 有的三角形是等边三角形 , 则命题 p 的否定是 ( 　　 ) A. 有的三角形不是等边三角形 B. 有的三角形是不等边三角形 C. 所有的三角形都是等边三角形 D. 所有的三角形都不是等边三角形 答案 : D 　 解析 : 原命题是存在量词命题 , 先改变量词 , 再否定结论 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 已知命题 p : ∀ x ∈ R , x>a 2 +b 2 , 则命题 p 的否定是 ( 　　 ) A. ∃ x ∈ R , x