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- 2021-06-16 发布
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8
.
6
.
1
直线与直线垂直
课标阐释
思维脉络
1
.
理解异面直线垂直的定义
.
(
数学抽象
)
2
.
理解异面直线所成角的
概念
.
(
数学抽象
)
3
.
会求给定两条异面直线所成的角
.
(
数学运算
)
激趣诱思
知识点拨
如图所示
,
在长方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
与棱
AA
1
垂直的棱有几条
?
你是如何断定它们是相互垂直的
?
激趣诱思
知识点拨
知识点、异面直线所成的角
(
或夹角
)
异面直线所成的角定义
已知两条异面直线
a,b,
经过空间任一点
O
分别作直线
a'
∥
a,b'
∥
b,
我们把直线
a'
与
b'
所成的角叫做异面直线
a
与
b
所成的角
(
或夹角
)
异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是
直角
,
那么我们就说这两条异面直线互相垂直
.
直线
a
与直线
b
垂直
,
记作
a
⊥
b
范围
空间两条直线所成的角
α
的取值范围是
0°≤
α
≤90°
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
∠
BAE=
25°,
则异面直线
AE
与
B
1
C
1
所成的角的大小为
.
解析
:
∵
B
1
C
1
∥
BC
,
∴∠
AEB
为异面直线
AE
与
B
1
C
1
所成的角
.
∵∠
BAE=
25°,
∴∠
AEB=
65°
.
答案
:
65°
探究
素养形成
当堂检测
求
异面直线所成的角
例题
如图
,
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
E
,
F
分别是
A
1
B
1
,
B
1
C
1
的中点
,
求异面直线
DB
1
与
EF
所成角的大小
.
分析
先作出角
,
再证明角的两边分别与两异面直线平行
,
最后在三角形中求角
.
探究
素养形成
当堂检测
解
:
(
方法一
)
如图
①
,
连接
A
1
C
1
,
B
1
D
1
,
并设它们相交于点
O
,
取
DD
1
的中点
G
,
连接
OG
,
A
1
G
,
C
1
G
,
则
OG
∥
B
1
D
,
EF
∥
A
1
C
1
.
∴∠
GOA
1
为异面直线
DB
1
与
EF
所成的角或其补角
.
∵
GA
1
=GC
1
,
O
为
A
1
C
1
的中点
,
∴
GO
⊥
A
1
C
1
.
∴
异面直线
DB
1
与
EF
所成的角为
90°
.
①
探究
素养形成
当堂检测
②
探究
素养形成
当堂检测
(
方法三
)
如图
③
,
在原正方体的右侧补上一个全等的正方体
,
连接
B
1
Q
,
则
B
1
Q
∥
EF
.
于是
∠
DB
1
Q
为异面直线
DB
1
与
EF
所成的角或其补角
.
通过计算
,
不难得到
:
B
1
D
2
+B
1
Q
2
=DQ
2
,
从而异面直线
DB
1
与
EF
所成的角为
90°
.
探究
素养形成
当堂检测
反思感悟
异面直线所成角的求解策略
(1)
求两条异面直线所成角的一般步骤是
:
①
构造
:
恰当地选择一个点
(
线段的端点或中点
),
用平移法构造异面直线所成的角
;
②
证明
:
证明
①
中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角
;
③
计算
:
通过解三角形等知识
,
求出
①
中所构造的角的大小
;
④
结论
:
假如所构造的角的大小为
α
,
若
0°
<
α
≤90°,
则
α
即为所求异面直线所成角的大小
;
若
90°
<
α
<
180°,
则
180°
-
α
即为所求
.
探究
素养形成
当堂检测
(2)
作出异面直线所成的角
,
可通过多种方法平移产生
,
主要有三种方法
:
①
直接平移法
(
可利用图中已有的平行线
);
②
中位线平移法
;
③
补形平移法
(
在已知图形中
,
补作一个相同的几何体
,
以便找到平行线
)
.
探究
素养形成
当堂检测
延伸探究
若把
“
直线
DB
1
”
换为
“
直线
DC
1
”
呢
?
解
:
如图
,
连接
A
1
C
1
,
A
1
D
.
在
△
A
1
B
1
C
1
中
,
A
1
E=EB
1
,
C
1
F=FB
1
,
所以
EF
∥
A
1
C
1
.
所以
∠
A
1
C
1
D
为直线
DC
1
与
EF
所成的角
.
在
△
A
1
C
1
D
中
,
A
1
D=DC
1
=A
1
C
1
,
所以
∠
A
1
C
1
D=
60°,
所以直线
DC
1
与
EF
所成的角等于
60°
.
探究
素养形成
当堂检测
异面直线的判断
典例
(2019
广东佛山第二中学高二月考
)
如图所示
,
点
P
,
Q
,
R
,
S
分别在正方体的四条棱上
,
并且是所在棱的中点
,
则直线
PQ
与
RS
是异面直线的图是
(
)
探究
素养形成
当堂检测
解析
:
A,B
中
,
PQ
与
RS
互相平行
;
D
中
,
由于
PR
平行且
等于
SQ
,
则四边形
SRPQ
为梯形
,
故
PQ
与
RS
相交
;
C
中
,
PQ
与
RS
既不平行
,
又不相交
,
故选
C
.
答案
:
C
方法点睛
利用异面直线的定义和正方体的性质
,
逐一分析各个图形中的
2
条直线
,
即可把满足条件的图形找出来
.
探究
素养形成
当堂检测
1
.
经过空间一点
P
作与直线
a
成
60°
角的直线
,
这样的直线有
(
)
A.0
条
B.1
条
C.
有限条
D.
无数条
解析
:
这些直线可以是以
P
为顶点
,
以过点
P
且平行于
a
的直线为轴的圆锥的母线所在的直线
,
有无数条直线
.
答案
:
D
探究
素养形成
当堂检测
2
.
分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
(
)
A.
一定平行
B
.
一定相交
C.
一定异面
D
.
相交或异面
解析
:
画出图形
,
得到结论
.
如图
①
,
分别与异面直线
a
,
b
平行的两条直线
c
和
d
是相交关系
.
如图
②
,
分别与异面直线
a
,
b
平行的两条直线
c
和
d
是异面关系
.
综上可知
,
应选
D
.
答案
:
D
探究
素养形成
当堂检测
3
.
如图
,
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
异面直线
AC
和
BC
1
所成角的大小为
(
)
解析
:
连接
AD
1
,
CD
1
,
∵
BC
1
∥
AD
1
,
∴∠
D
1
AC
即为异面直线
AC
与
BC
1
所成的角
.
答案
:
A
探究
素养形成
当堂检测
4
.
(2020
山东潍坊月考
)
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
异面直线
B
1
D
1
与
CD
所成角的大小
是
.
解析
:
如图
,
在正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
∵
C
1
D
1
∥
CD
,
∴∠
B
1
D
1
C
1
即为异面直线
B
1
D
1
与
CD
所成的角
.
∵△
B
1
D
1
C
1
为等腰直角三角形
,
∴∠
B
1
D
1
C
1
=
45°
.
答案
:
45°
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