2020-2021学年高三上学期月考数学（理）试题（四川省仁寿第一中学校北校区） 9页

仁寿一中北校区高2018级高三上学期9月月考题 ‎ 数学（理科）‎ ‎ （考试时间：120分钟；满分：150分）‎ 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则( D )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足，则（ C ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 不等式1<|＋1|<3的解集为(　D　)‎ A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ B ）‎ A．30 B．31 C．62 D．63‎ ‎5. “”是|－|＝||－||的(　B　)‎ A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 ‎6.求曲线经过变换后所得的曲线的焦点坐标为（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落在阴影部分（曲线C为正态分布N（-2，4）的密度曲线）的点的个数估值为（ A. ）‎ ‎（附：~，则，）‎ A.340 B.1359 C. 2718 D.3413‎ ‎8.先后掷一枚均匀的骰子两次，骰子落在水平桌面上后,记正面向上的点数分别为x,y，记事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x,y中有偶数，且”，则概率P(B|A)=( A )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（　A　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.A,B是圆上的两个动点且,A,B到直线的距离分别为则的最大值是（C ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎12.已知，若当时，恒成立，则的最大值是（ A ）‎ A．-6 B．-2 C．2 D．6‎ 一、 填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.设样本数据的方差为4，若，则的方差是 16 ‎ ‎14. 设二次函数的值域为，则的最小值为 3 ‎ ‎15.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则=___3___.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点，下列结论正确的序号为___(1)(2)(4)___.‎ ‎(1)符合[OP]=2的点P的轨迹围成的图像面积为8；‎ ‎(2)设点P是直线：上任一点，则[OP]min=1；‎ ‎(3)设点P是直线：上任一点，则使得“[OP]最小的点有无数个”的充要条件是；‎ ‎(4)设点P是椭圆上的任意一点，则。‎ 三、解答题（共70分，其中17-21题为必考题，每个考生都必须作答，22，23为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：‎ 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）若将频率是为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）‎ ‎（2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望．‎ ‎【解析】（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则，‎ 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，‎ 所以恰好抽到个礼品果的概率为，‎ ‎（2）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，‎ 现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，‎ 则；；‎ ‎；，‎ 所以的分布列如下：‎ 所以 ‎18.已知定义在R上的函数恒成立．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c等于m的最大值，求证：．‎ ‎（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3‎ 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f（x）的最小值等于3，即 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，‎ 所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，‎ 所以a2+b2+c2≥3‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为，‎ 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．‎ 将曲线C的参数方程，消去参数a，‎ 得曲线C的普通方程为．‎ ‎（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．‎ 点M的极坐标（，），化为直角坐标为（－2，2）．‎ 则．‎ 所以点P到直线l的距离，‎ 所以当时，点M到直线l的距离的最大值为．‎ ‎20．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？‎ ‎（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）‎ ‎，其中 ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，，‎ 由中间三组的人数成等差数列可知，可解得 ‎（2）周平均消费不低于300元的频率为，‎ 因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为 男性 女性 合计 消费金额≥300‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 消费金额＜300‎ ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 合计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ 所以有的把握认为消费金额与性别有关.‎ ‎21．设函数，其中．‎ ‎（1）当为偶函数时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由函数是偶函数，得，‎ 即对于任意实数都成立，‎ 所以. ‎ 此时，则.‎ 由，解得. ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. ‎ 所以有极小值，极大值. ‎ ‎（2）由，得.‎ 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ‎ 对函数求导，得. ‎ 由，解得，. ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. ‎ 又因为，，，，‎ 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. ‎ 即当或时，函数在区间上有两个零点.‎ （二） 选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为：，‎ 曲线的普通方程为：，即，‎ 由两圆心的距离，所以两圆相交，‎ 所以两方程相减可得交线为，即．‎ 所以直线的极坐标方程为．‎ ‎（2）直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为，‎ 直线的参数方程为，带入曲线得．‎ 设两点的参数为，，‎ 所以，，所以，同号．‎ 所以 ‎23.（1）已知，且，证明．‎ ‎（2）已知，且，求的取值范围．‎ 略