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  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修2-3练习:第一章章末复习课word版含解析

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章末复习课 整合·网络构建] 警示·易错提醒] 1.正确区分“分类”与“分步”,恰当地进行分类,使分类后不 重、不漏. 2.正确区分是组合问题还是排列问题,要把“定序”和“有序” 区分开来. 3.正确区分分堆问题和分配问题. 4.二项式定理的通项公式 Tk+1=Cknan-kbk是第(k+1)项,而不是 第 k项,注意其指数规律. 5.求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项式系数 最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时,要 注意 n与 k的取值范围. 6.注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”,展开式中 “二项式系数的和”与“各项系数的和”,“奇(偶)数项系数的和”与 “奇(偶)次项系数的和”. 专题一 两个计数原理的应用 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础,高考 中时有出现,一般是与排列、组合相结合进行考查,难度中等. 例 1] 现有 4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要 求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 ( ) 高 中 数 学 A.144种 B.72种 C.64种 D.84种 解析:法一 根据所用颜色的种数分类 第一类:用 4种颜色涂,方法有 A44=4×3×2×1=24(种). 第二类:用 3种颜色,必须有一条对角区域涂同色,方法有 C12C14A23 =48(种). 第三类:用 2种颜色,对角区域各涂一色,方法有 A24=12(种). 根据加法原理,不同的涂色方法共有 24+48+12=84(种). 法二 根据“高”“学”是否为同色分类 第一类:区域“高”与“学”同色,从 4色中选 1色,有 C 14种方 法,其余区域“中”“数”各有 3种方法,共有 4×3×3=36(种). 第二类:区域“高”与“学”不同色,区域“高”有 4种方法, 区域“学”有 3 种方法,区域“中”“数”各有 2 种方法,共有 4×3×2×2=48(种). 根据加法原理,方法共有 36+48=84(种). 答案:D 归纳升华 应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还 是分步完成,而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完 成该事件,能完成便是分类,否则便是分步.对于有些较复杂问题可 能既要分类又要分步,此时应注意层次清晰,不重不漏,在分步时, 要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的). 变式训练] 在∠AOB的 OA边上取 3个点,在 OB边上取 4个点 (均除 O点外),连同 O点共 8个点,现任取其中三个点为顶点作三角 形,可作的三角形有( ) A.48 B.42 C.36 D.32 解析:分三类:第一类:从 OA边上(不包括 O)任取一点与从 OB 边上(不包括 O)任取两点,可构造一个三角形,有 C13C 24个; 第二类:从 OA边上(不包括 O)任取两点与 OB边上(不包括 O)任 取一点,可构造一个三角形,有 C23C 14个; 第三类:从 OA边上(不包括 O)任取一点与 OB边上(不包括 O)任 取一点,与 O点可构造一个三角形,有 C13C 14个. 由分类加法计数原理,可作的三角形共有 N=C13C24+C23C14+C13C14 =42(个). 答案:B 专题二 排列组合应用题 排列组合应用题是高考的一个重点内容,常与实际问题相结合进 行考查.要认真阅读题干,明确问题本质,利用排列组合的相关公式 与方法解题. 1.合理分类,准确分步. 例 2] 5 名乒乓球队员中,有 2名老队员和 3 名新队员.现从中 选出 3名队员排成 1,2,3号参加团体比赛,则入选的 3名队员中至 少有 1名老队员且 1、2号中至少有 1名新队员的排法有________种(用 数字作答). 解析:①只有 1名老队员的排法有 C12C23A33=36(种).②有 2名老 队员的排法有 C22C13C12A22=12(种).所以共有 36+12=48(种). 答案:48 2.特殊优先,一般在后. 例 3] 将 A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且 A,B均 在 C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答). 解析:①当 C在第一或第六位时,排法有 A55=120(种); ②当 C在第二或第五位时,排法有 A24A33=72(种); ③当 C在第三或第四位时,排法有 A22A33+A23A33=48(种). 所以排法共有 2×(120+72+48)=480(种). 答案:480 3.直接间接,灵活选择. 例 4] 10件产品中有 2件合格品,8件优质品,从中任意取 4件, 至少有 1件是合格品的抽法有________种. 解析:法一 抽取的 4件产品至少有 1件合格品分为有 1件合格 品、2件合格品 2种情况:有 1件合格品的抽法有 C12C 38种;有 2件合 格品抽法有 C22C 28种.根据分类加法计数原理至少有 1件合格品的抽法 共有 C12C38+C22C28=140(种). 法二 从 10件产品中任意抽取 4件,有 C 410种抽法,其中没有合 格品的抽法有 C 48种,因此至少有 1件合格品的抽法有 C410-C48=210 -70=140(种). 答案:140 4.元素相邻,捆绑为一. 例 5] 用数字 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则其 中数字 2,3相邻的偶数有________个(用数字作答). 解析:数字 2和 3相邻的偶数有两种情况.第一种情况,当数字 2 在个位上时,则 3必定在十位上,此时这样的五位数共有 6个;第二 种情况,当数字 4在个位上时,且 2,3必须相邻,此时满足要求的五 位数有 A22A33=12(个),则一共有 6+12=18(个). 答案:18 5.元素相间,插空解决. 例 6] 一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,要求 3个空位中,恰 有 2个空位相邻,共有________种不同的坐法. 解析:先让 4人坐在 4个位置上,有 A 44种排法,再让 2个元素(一 个是两个空位作为一个整体,另一个是单独的空位)插入 4个人形成的 5个“空挡”之间,有 A 25种插法,所以所求的坐法数为 A44A25=480. 答案:480 6.分组问题,消除顺序. 例 7] 某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4名学生,要 安排到该年级的两个班级且每班安排 2名,则不同的安排方案种数为 ________. 解析:把新转来的 4名学生平均分两组,每组 2人,分法有 C24 A22 = 3(种),把这两组人安排到 6个班中的某 2个班中去,有 A 26种方法,故 不同的安排种数为 3A26=90. 答案:90 归纳升华 解排列组合应用题应遵循三大原则,掌握基本类型,突出转化思 想. (1)三大原则是:先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类 后分步的原则. (2)基本类型主要包括:排列中的“在与不在”问题,组合中的“有 与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等. (3)转化思想:就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而 把这些问题转化为基本类型,然后加以解决. 专题三 二项式定理的应用 二项式定理是历年高考中的必考内容,解决二项式定理问题,特 别是涉及求二项展开式的通项的问题,关键在于抓住通项公式,还要 注意区分“二项式系数”与“展开式系数”. 例 8] (1)已知 x2- i x n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 - 3 14 ,其中 i2=-1,则展开式中系数为实数且最大的项为( ) A.第三项 B.第四项 C.第五项 D.第五项或第六项 (2)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a6+a4 +a2+a0=________. 解析:(1)T3=-C2nx2n-5,T5=C4nx2n-10. 由- C2n C4n =- 3 14 ,得 n2-5n-50=0,解得 n=10(舍去 n=-5), 又 Tr+1=Cr10(-i)rx20- 5 2 r, 据此可知当 r分别取 0,2,4,6,8,10时其系数为实数,且当 r =4时,C410=210为最大. (2)令 x=1,得 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26=64; 令 x=-1,得 a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=4 096. 两式相加,得 2(a6+a4+a2+a0)=4 160, 所以 a6+a4+a2+a0=2 080. 答案:(1)C (2)2 080 归纳升华 (1)区分“项的系数”与“二项式系数”.项的系数与 a,b有关, 可正可负,二项式系数只与 n有关,恒为正数. (2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大 的项”等概念. (3)求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第 几项. (4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为 0,±1 等. 变式训练] (1) x- 2 x3 5 展开式中的含 x-3的项的系数为( ) A.80 B.60 C.40 D.-40 (2)已知(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11,则 a1+a2+… +a11=________. 解析:(1)设展开式的第(r+1)项为 Tr+1=Cr5x5-r - 2 x3 r =(-2)rCr5x5 -4r,令 5-4r=-3,得 r=2, 所以,展开式中含 x -3的项为 T3=(-2)2C25x-3=40x-3. (2)令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a11=-64. 所以 a1+a2+…+a11=-65. 答案:(1)C (2)-65 专题四 分类讨论思想 分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用,此类问题一般情 况繁多,因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步,以 便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏的现象发生. 例 4] 从 10种不同的作物中选出 6种放入 6个不同的瓶子中展 出,如果甲、乙两种种子不能放入第 1号瓶内,那么不同的放法共有 ________种. 解析:根据选出的 6种种子中所含甲、乙种子个数来分类:选出 的 6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为 C58A15A55;选出的 6种种 子中,同时含有甲与乙的不同放法有 C48A25A44;选出的 6种种子中,都 不含甲与乙的不同放法有 A68.故不同的放法共有 2C58A15A55+C48A25A44+ A68=120 960(种). 答案:120 960 归纳升华 排列组合的综合问题一般比较复杂,分类方法也灵活多变.一般 有以下一些分类方式:(1)根据元素分类,又包括根据特殊元素分类, 根据元素特征分类,根据特殊元素的个数分类;(2)根据特殊位置分类; (3)根据图形分类,又包括根据图形的特征分类,根据图形的种类分类; (4)根据题设条件分类. 变式训练] 由 1,2,3,4,5,6六个数字可组成________个无 重复且是 6的倍数的五位数. 解析:若一个整数是偶数且是 3的倍数,则这个整数是 6的倍数.据 此本题分两类求解. 第一类:由 1,2,4,5,6作数码.首先从 2,4,6中任选一个 作为个位数字,有 A 13种选法,然后其余四个数字在其他数位上全排列, 有 A 44种选法,所以符合条件的五位数共有 N1=A13A44=72(个). 第二类:由 1,2,3,4,5作数码.依照第一类的方法,符合条 件的五位数有 N2=A12A44=48(个). 综上,符合条件的五位数共有 N=N1+N2=120(个). 答案:120