2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 10页

‎7.2.2　‎同角三角函数关系 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝．(重点)‎ ‎2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．‎ 结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角α的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin α与cos α满足什么关系？tan α与sin α，cos α之间满足什么关系？‎ 同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2 α＝1．‎ ‎(2)商数关系：tan α＝．‎ 思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？‎ ‎[提示]　不一定．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　　)‎ ‎(2)对任意角α，＝tan 都成立． (　　)‎ ‎(3)sin α＝是cos α＝的充分条件． (　　)‎ - 10 -‎ ‎[提示]　(1)符合同角三角函数的关系．‎ ‎(2)等式＝tan 的条件是 即α≠π＋2kπ，k∈Z．‎ ‎(3)因为α的范围不明确，故cos α＝±＝±，由sin α＝不能推出cos α＝．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α＝　　　　．‎ ‎－2　[∵α是第二象限角，∴sin α＞0．‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝＝＝，‎ ‎∴tan α＝＝－2．]‎ ‎3．已知tan α＝2，则＝　　　　．‎ ‎－　[由tan α＝2知cos α≠0，‎ 所以＝＝－．]‎ 利用同角三角函数基本关系式求值 ‎【例1】　(1)已知sin α＝－，求cos α，tan α的值；‎ ‎(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．‎ ‎[思路点拨]　 ‎ ‎(2)先由已知条件求出tan α，再将式子化成关于tan α的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．‎ - 10 -‎ ‎[解]　(1)因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．‎ 由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－＝．‎ 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．‎ 于是cos α＝－＝－，‎ 从而tan α＝＝×＝．‎ 如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－．‎ ‎(2)法一：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2．‎ 所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1．‎ 法二：由sin α＋2cos α＝0得2cos α＝－sin α，‎ 所以2sin αcos α－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1．‎ ‎1．求三角函数值的方法 ‎(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 ‎(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．‎ ‎2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 ‎(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．‎ ‎(2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．‎ - 10 -‎ ‎1．已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．‎ ‎[解]　法一：∵tan α＝－2<0，‎ ‎∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α， ①‎ 又sin2α＋cos2α＝1， ②‎ 由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝．‎ 当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；‎ 当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－．‎ 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．‎ 由tan α＝，‎ 两边分别平方，得tan2α＝，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴tan2α＋1＝＋1＝＝，‎ 即cos2α＝．‎ 当α为第二象限角时，cos α<0，‎ ‎∴cos α＝－＝－＝－，‎ ‎∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝．‎ 当α为第四象限角时，cos α>0，‎ ‎∴cos α＝＝＝，‎ ‎∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－．‎ 三角函数式的化简、求值 ‎【例2】　(1)化简：；‎ ‎(2)若角α是第二象限角，化简：tan α．‎ ‎[思路点拨]　 ‎ - 10 -‎ ‎(2)―→ ‎[解]　(1)原式＝ ‎＝＝＝1．‎ ‎(2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1．‎ 化简三角函数式的常用方法 (1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.‎ (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.‎ (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“‎1”‎的代换，以降低函数次数，达到化简目的.‎ 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.‎ ‎2．化简：(1)；‎ ‎(2)．‎ ‎[解]　(1)原式＝＝＝ ‎＝＝1．‎ ‎(2)原式＝＝＝cos θ．‎ 三角函数式的证明 ‎【例3】　求证：＝．‎ - 10 -‎ ‎[思路点拨]　从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．‎ ‎[解]　∵(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，‎ ‎∴左边＝ ‎＝ ‎＝＝右边．‎ ‎1．在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“‎1”‎的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用．‎ ‎2．利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：‎ ‎(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．‎ ‎(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子．‎ ‎(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．‎ ‎(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．‎ ‎(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝‎0”‎或“＝‎1”‎．‎ ‎3．证明下列三角恒等式：‎ ‎(1)＝；‎ ‎(2)＝．‎ ‎[证明]　(1)左边＝＝＝＝．‎ 右边＝＋＝＋＝．‎ ‎∴左边＝右边，等式恒成立．‎ - 10 -‎ ‎(2)左边＝ ‎＝＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝右边．‎ 所以原等式成立．‎ ‎“sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系 ‎[探究问题]‎ ‎1．已知sin α±cos α的值，能求sin αcos α的值吗？反之呢？‎ ‎[提示]　设sin α±cos α＝m，则(sin α±cos α)2＝m2，‎ 即1±2sin αcos α＝m2，所以sin αcos α＝±．‎ 反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方便可．‎ ‎2．已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？‎ ‎[提示]　设sin α＋cos α＝t，则1＋2sin αcos α＝t2，‎ 从而2sin αcos α＝t2－1，‎ ‎∴1－2sin αcos α＝2－t2，‎ 从而(sin α－cos α)2＝2－t2，‎ 对上式开方便可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．‎ ‎【例4】　已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π．‎ 求：(1)sin αcos α的值；‎ ‎(2)求sin α－cos α的值．‎ ‎[思路点拨]　 0＜α＜π, ‎[解]　(1)∵sin α＋cos α＝，‎ ‎∴(sin α＋cos α)2＝，‎ - 10 -‎ ‎∴1＋2sin αcos α＝，‎ 即sin αcos α＝－．‎ ‎(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ‎＝1＋＝．‎ 又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，‎ ‎∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，‎ ‎∴sin α－cos α＝．‎ ‎1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可．‎ ‎2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负．‎ ‎4．已知△ABC中，sin A＋cos A＝，则A的值为　　　　．‎ 　 [∵A∈(0，π)，sin Acos A＝＝－<0，∴A∈，由sin A＋cos A＝>0，‎ 则sin A－cos A>0，(sin A－cos A)2＝1－2 sin Acos A＝＝，‎ 所以sin A－cos A＝，解得sin A＝，cos A＝－，又A∈，所以A＝．]‎ ‎1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．‎ ‎2．掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换 ‎(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；‎ ‎(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；‎ - 10 -‎ ‎(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；‎ ‎(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ．‎ ‎3．掌握同角三角函数基本关系式的三个应用 ‎(1)利用同角三角函数的基本关系求值；‎ ‎(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用；‎ ‎(3)三角函数式的化简与证明的方法．‎ ‎4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α，cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α，cos α漏解或多解的错误．‎ ‎1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)‎ A．　 B．－　　　‎ C．　 D．－ B　[∵sin α＝－，且α为第四象限角，‎ 故cos α＝，‎ ‎∴tan α＝－．]‎ ‎2．已知tan α＝，则cos α－sin α等于　　　　．‎ 　[由tan α＝，‎ 得解得 ‎∴cos α－sin α＝．]‎ ‎3．若＝2，则tan α＝　　　　．‎ ‎1　[∵＝2，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴tan α＋1＝4tan α－2，‎ 即3tan α＝3，∴tan α＝1．]‎ ‎4．求证：＝．‎ - 10 -‎ ‎[证明]　∵右边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝左边，‎ ‎∴原等式成立．‎ - 10 -‎