高中数学人教a版选修4-4课时跟踪检测（五）柱坐标系word版含解析 3页

课时跟踪检测(五) 柱坐标系 一、选择题 1．设点M的直角坐标为(1，－ 3，2)，则它的柱坐标是( ) A. 2，π 3 ，2 B. 2，2π 3 ，2 C. 2，4π 3 ，2 D. 2，5π 3 ，2 解析：选 D ρ＝ 12＋－ 32＝2，tan θ＝－ 3， 又 x>0，y<0，M在第四象限， ∴θ＝5π 3 ， ∴柱坐标是 2，5π 3 ，2 . 2．点 P的柱坐标为 8，π 4 ，2 ，则点 P与原点的距离为( ) A. 17 B．2 17 C．4 17 D．8 17 解析：选 B 点 P的直角坐标为(4 2，4 2，2)． ∴它与原点的距离为： 4 2－02＋4 2－02＋2－02＝2 17. 3．空间点 P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点 O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( ) A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z) C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z) 答案：C 4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于 z轴对称点的柱坐标为( ) A. 2，3π 4 ，1 B. 2，π 4 ，1 C. 2，5π 4 ，1 D. 2，7π 4 ，1 解析：选 C (1,1,1)关于 z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为 2，5π 4 ，1 . 二、填空题 5．设点Μ的柱坐标为 2，π 6 ，7 ，则点Μ的直角坐标为________． 解析：x＝ρcos θ＝2cosπ 6 ＝ 3. y＝ρsin θ＝2sin π 6 ＝1. ∴直角坐标为( 3，1,7)． 答案：( 3，1,7) 6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________． 解析： ∵x＞0，y＝0， ∴tan θ＝0，θ＝0. ρ＝ 12＋02＝1. ∴柱坐标为(1,0,5)． 答案：(1,0,5) 7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________． 答案：中心轴为 z轴，底半径为 2的圆柱面 三、解答题 8．求点M(1,1,3)关于 xOz平面对称点的柱坐标． 解：点M(1,1,3)关于 xOz平面的对称点为(1，－1,3)． 由变换公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z 得 ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝ 2. tan θ＝－1 1 ＝－1， 又 x＞0，y＜0，∴θ＝7π 4 . ∴其关于 xOz平面的对称点的柱坐标为 2，7π 4 ，3 . 9．已知点M的柱坐标为 2，π 4 ，1 ，求M关于原点 O对称的点的柱坐标． 解：M 2，π 4 ，1 的直角坐标为 x＝ 2cosπ 4 ＝1， y＝ 2sinπ 4 ＝1， z＝1， ∴M关于原点 O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1 －1 ＝1， 又 x＜0，y＜0， ∴θ＝5π 4 . ∴其柱坐标为 2，5 π 4 ，－1 . ∴点M关于原点 O对称的点的柱坐标为 2，5π 4 ，－1 . 10．建立适当的柱坐标系表示棱长为 3的正四面体各个顶点的坐标． 解：以正四面体的一个顶点 B为极点 O，选取以 O 为端点且与 BD 垂直的射线 Ox 为 极轴，在平面 BCD上建立极坐标系．过 O点与平面 BCD垂直的线为 z轴． 过 A作 AA′垂直于平面 BCD，垂足为 A′， 则|BA′|＝3 2 3×2 3 ＝ 3，|AA′|＝ 32－ 32＝ 6， ∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝ π 3 ， 则 A 3，π 3 ， 6 ，B(0,0,0)，C 3，π 6 ，0 ，D 3，π 2 ，0 .