- 345.10 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
6.2.3 向量的数乘运算
学习目标 1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘的运
算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
知识点一 向量数乘的定义
实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如
下:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
当λ>0 时,与 a 的方向相同;
当λ<0 时,与 a 的方向相反.
特别地,当λ=0 时,λa=0.
当λ=-1 时,(-1)a=-a.
知识点二 向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)=(λμ)a.
(2)(λ+μ)a=λa+μa.
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,(-λ)a=-λa=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a,b,以及任意实数λ,μ1,
μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
知识点三 向量共线定理
向量 a (a≠0)与 b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 b=λa.
思考 向量共线定理中为什么规定 a≠0?
答案 若将条件 a≠0 去掉,即当 a=0 时,显然 a 与 b 共线.
(1)若 b≠0,则不存在实数λ,使 b=λa.
(2)若 b=0,则对任意实数λ,都有 b=λa.
1.若向量 b 与 a 共线,则存在唯一的实数λ使 b=λa.( × )
提示 当 b=0,a=0 时,实数λ不唯一.
2.若 b=λa,则 a 与 b 共线.( √ )
3.若λa=0,则 a=0.( × )
提示 若λa=0,则 a=0 或λ=0.
4.|λa|=λ|a|.( × )
提示 |λa|=|λ|·|a|.
一、向量的线性运算
例 1 (1)若 a=2b+c,化简 3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于( )
A.-a B.-b
C.-c D.以上都不对
答案 C
解析 原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b
=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c.
(2)若 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则 x=________.
答案 4b-3a
解析 由已知,得 3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以 x+3a-4b=0,
所以 x=4b-3a.
反思感悟 向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、
合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、
“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,
同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算.
跟踪训练 1 计算:(a+b)-3(a-b)-8a.
解 (a+b)-3(a-b)-8a=(a-3a)+(b+3b)-8a
=-2a+4b-8a=-10a+4b.
二、用已知向量表示其他向量
例 2 如图,在▱ABCD 中,E 是 BC 的中点,若AB→=a,AD→ =b,则DE→ 等于( )
A.1
2a-b B.1
2a+b
C.a+1
2b D.a-1
2b
答案 D
解析 因为 E 是 BC 的中点,
所以CE→=1
2CB→=-1
2AD→ =-1
2b,
所以DE→ =DC→ +CE→=AB→+CE→=a-1
2b.
反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已
知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练 2 在△ABC 中,若点 D 满足BD→ =2DC→ ,则AD→ 等于( )
A.1
3AC→+2
3AB→ B.5
3AB→-2
3AC→
C.2
3AC→-1
3AB→ D.2
3AC→+1
3AB→
答案 D
解析 示意图如图所示,
由题意可得AD→ =AB→+BD→
=AB→+2
3BC→
=AB→+2
3(AC→-AB→)=1
3AB→+2
3AC→.
三、向量共线的判定及应用
例 3 设 a,b 是不共线的两个向量.
(1)若OA→ =2a-b,OB→ =3a+b,OC→ =a-3b,求证:A,B,C 三点共线;
(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.
(1)证明 ∵AB→=OB→ -OA→ =(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
而BC→=OC→ -OB→ =(a-3b)-(3a+b)=-(2a+4b)=-2AB→,
∴AB→与BC→共线,且有公共点 B,
∴A,B,C 三点共线.
(2)解 ∵8a+kb 与 ka+2b 共线,
∴存在实数λ,使得 8a+kb=λ(ka+2b),
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a 与 b 不共线,∴ 8-λk=0,
k-2λ=0,
解得λ=±2,∴k=2λ=±4.
反思感悟 (1)证明或判断三点共线的方法
一般来说,要判定 A,B,C 三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB→=λAC→(或BC→=
λAB→等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练 3 已知向量 e1,e2 不共线,如果AB→=e1+2e2,BC→=-5e1+6e2,CD→ =7e1-2e2,
则共线的三个点是________.
答案 A,B,D
解析 ∵AB→=e1+2e2,BD→ =BC→+CD→
=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2AB→,
∴AB→,BD→ 共线,且有公共点 B,
∴A,B,D 三点共线.
三点共线的常用结论
典例 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不
同的两点 M,N,若AB→=mAM→ ,AC→=nAN→,则 m+n 的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
解析 连接 AO(图略),∵O 是 BC 的中点,
∴AO→ =1
2(AB→+AC→).
又∵AB→=mAM→ ,AC→=nAN→,∴AO→ =m
2AM→ +n
2AN→.
又∵M,O,N 三点共线,∴m
2
+n
2
=1,则 m+n=2.
[素养提升] (1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论:若 A,B,C 三点共线,O
为直线外一点⇔存在实数 x,y,使OA→ =xOB→ +yOC→ ,且 x+y=1.
(2)应用时一定注意 O 是共同的起点,主要是培养学生逻辑推理的核心素养.
1.下列运算正确的个数是( )
①(-3)·2a=-6a;
②2(a+b)-(2b-a)=3a;
③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a
=0,是零向量,而不是 0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为 2.
2.如图,已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线,若AB→=a,AC→=b,则AM→ 等于( )
A.1
2(a-b) B.-1
2(a-b)
C.1
2(a+b) D.-1
2(a+b)
答案 C
解析 因为 M 是 BC 的中点,所以AM→ =1
2(a+b).
3.设 P 是△ABC 所在平面内一点,BC→+BA→=2BP→,则( )
A.PA→+PB→=0 B.PC→+PA→=0
C.PB→+PC→=0 D.PA→+PB→+PC→=0
答案 B
解析 因为BC→+BA→=2BP→,所以点 P 为线段 AC 的中点,故选项 B 正确.
4.化简 4(a-3b)-6(-2b-a)=________.
答案 10a
解析 4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
5.设 e1 与 e2 是两个不共线向量,AB→=3e1+2e2,CB→=ke1+e2,CD→ =3e1-2ke2,若 A,B,D
三点共线,则 k=________.
答案 -9
4
解析 因为 A,B,D 三点共线,
故存在一个实数λ,使得AB→=λBD→ ,
又AB→=3e1+2e2,CB→=ke1+e2,CD→ =3e1-2ke2,
所以BD→ =CD→ -CB→=3e1-2ke2-(ke1+e2)
=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以 3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以 3=λ3-k,
2=-λ2k+1,
解得 k=-9
4.
1.知识清单:
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:忽视零向量这一个特殊向量.
1.下列说法中正确的是( )
A.λa 与 a 的方向不是相同就是相反
B.若 a,b 共线,则 b=λa
C.若|b|=2|a|,则 b=±2a
D.若 b=±2a,则|b|=2|a|
答案 D
解析 显然当 b=±2a 时,必有|b|=2|a|.
2.(多选)下列各式计算正确的有( )
A.(-7)6a=-42a
B.7(a+b)-8b=7a+15b
C.a-2b+a+2b=2a
D.4(2a+b)=8a+4b
答案 ACD
解析 ACD 正确,B 错,7(a+b)-8b=7a+7b-8b=7a-b.
3.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2 (k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线,则
( )
A.k=0 B.k=1
C.k=2 D.k=1
2
答案 D
解析 ∵向量 m 与向量 n 共线,
∴设 m=λn(λ∈R),∴-e1+ke2=λe2-2λe1,
∵e1 与 e2 不共线,
∴ k=λ,
-1=-2λ,
∴
λ=1
2
,
k=1
2.
4.下列各组向量中,一定能推出 a∥b 的是( )
①a=-3e,b=2e;
②a=e1-e2,b=e1+e2
2
-e1;
③a=e1-e2,b=e1+e2+e1+e2
2
.
A.① B.①② C.②③ D.①②③
答案 B
解析 ①中,a=-3
2b,所以 a∥b;
②中,b=e1+e2
2
-e1=e2-e1
2
=-1
2a,所以 a∥b;
③中,b=3e1+3e2
2
=3
2(e1+e2),若 e1 与 e2 共线,则 a 与 b 共线,若 e1 与 e2 不共线,则 a 与
b 不共线.
5.已知 m,n 是实数,a,b 是向量,则下列说法中正确的是( )
①m(a-b)=ma-mb;
②(m-n)a=ma-na;
③若 ma=mb,则 a=b;
④若 ma=na,则 m=n.
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
答案 B
解析 由向量数乘的运算律知①②正确;③中当 m=0 时,ma=mb,但 a 不一定等于 b,故
错误;④中当 a=0 时等式成立,但 m 不一定等于 n,故错误.
6.已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=5,且 a=λb,则实数λ的值是________.
答案 ±3
5
解析 由 a=λb,得|a|=|λb|=|λ||b|.
∵|a|=3,|b|=5,∴|λ|=3
5
,即λ=±3
5.
7.1
4(a+2b)-1
6(5a-2b)+1
4a=________.
答案 -1
3a+5
6b
解析 原式=1
4a+1
2b-5
6a+1
3b+1
4a=
1
4
-5
6
+1
4 a+
1
2
+1
3 b=-1
3a+5
6b.
8.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD=1
2AB,BE=2
3BC.若AB→=a,AC→=b,则DE→
=________.(用 a,b 表示)
答案 -1
6a+2
3b
解析 DE→ =DB→ +BE→=1
2AB→+2
3BC→=1
2AB→+2
3(BA→+AC→)=-1
6AB→+2
3AC→=-1
6a+2
3b.
9.计算:
(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
解 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c
=(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c)
=6a+2b.
10.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若向量 2ka+b 与 8a+kb 的方向相反,求 k 的值.
解 由题意可知存在实数λ使 2ka+b=λ(8a+kb),
即 2ka+b=8λa+λkb,
所以 2k=8λ,
1=λk,
解得
λ=1
2
,
k=2
或
λ=-1
2
,
k=-2,
∵2ka+b 与 8a+kb 的方向相反,
则 k=2 不符合题意,舍去,
∴k=-2.
11.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB→+FC→等于( )
A.BC→ B.1
2AD→
C.AD→ D.1
2BC→
答案 C
解析 如图,EB→+FC→=EC→+CB→+FB→+BC→
=EC→+FB→=1
2(AC→+AB→)
=1
2
×2AD→ =AD→ .
12.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上的一点,若CD→ =1
3CA→+λCB→,则λ等于( )
A.1
3 B.2
3 C.1
2 D.3
4
答案 B
解析 ∵A,B,D 三点共线,
∴1
3
+λ=1,λ=2
3.
13.如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 pa+(p+1)b=0,则向量 a 和 b________.(填“共线”
或“不共线”)
答案 共线
解析 由题知实数 p≠0,则 pa+(p+1)b=0 可化为 a=-p+1
p
b,由向量共线定理可知 a,b
共线.
14.已知在△ABC 中,点 M 满足MA→ +MB→ +MC→ =0,若存在实数 m 使得AB→+AC→=m AM→ 成立,
则 m=________.
答案 3
解析 ∵MA→ +MB→ +MC→ =0,
∴点 M 是△ABC 的重心.
∴AB→+AC→=3AM→ ,∴m=3.
15.已知在四边形 ABCD 中,AB→=a+2b,BC→=-4a-b,CD→ =-5a-3b,求证:四边形 ABCD
为梯形.
证明 如图所示.
∵AD→ =AB→+BC→+CD→
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
∴AD→ =2BC→.
∴AD→ 与BC→共线,且|AD→ |=2|BC→|.
又∵这两个向量所在的直线不重合,
∴AD∥BC,且 AD=2BC.
∴四边形 ABCD 是以 AD,BC 为两条底边的梯形.
16.设 a,b,c 为非零向量,其中任意两向量不共线,已知 a+b 与 c 共线,且 b+c 与 a 共
线,则 b 与 a+c 是否共线?请证明你的结论.
解 b 与 a+c 共线.证明如下:
∵a+b 与 c 共线,
∴存在唯一实数λ,使得 a+b=λc.①
∵b+c 与 a 共线,
∴存在唯一实数μ,使得 b+c=μa.②
由①-②得,a-c=λc-μa.
∴(1+μ)a=(1+λ)c.
又∵a 与 c 不共线,∴1+μ=0,1+λ=0,
∴μ=-1,λ=-1,∴a+b=-c,即 a+b+c=0.
∴a+c=-b.
故 a+c 与 b 共线.
相关文档
- 高中数学第8章函数应用课时分层作2021-06-165页
- 人教版高中数学选修2-3练习:第二章22021-06-166页
- 2020_2021学年高中数学第二章数列2021-06-1636页
- 2020_2021学年新教材高中数学第7章2021-06-1610页
- 2020_2021学年新教材高中数学第一2021-06-1628页
- 【新教材】2020-2021学年高中人教A2021-06-1618页
- 高中数学人教a版选修4-4课时跟踪检2021-06-163页
- 高中数学人教a版选修1-2课时跟踪检2021-06-164页
- 高中数学人教a版必修五第三章不等2021-06-166页
- 高中数学(人教版a版必修一)配套课时2021-06-168页