【数学】2021届一轮复习北师大版（理）4函数及其表示作业 7页

函数及其表示 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．下列所给图像是函数图像的个数为( ) ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 B [①中当 x＞0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图 像，②中当 x＝x0 时，y 的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个 x 的值 对应唯一的 y 值，因此是函数图像．] 2．(2019·成都模拟)函数 f(x)＝log2(1－2x)＋ 1 x＋1 的定义域为( ) A． 0，1 2 B． －∞，1 2 C．(－1,0)∪ 0，1 2 D．(－∞，－1)∪ －1，1 2 D [由 1－2x＞0，且 x＋1≠0，得 x＜1 2 且 x≠－1，所以函数 f(x)＝log2(1－2x) ＋ 1 x＋1 的定义域为(－∞，－1)∪ －1，1 2 .] 3．已知 f 1 2x－1 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a 等于( ) A.7 4 B．－7 4 C.4 3 D．－4 3 A [令 t＝1 2x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1， 则 4a－1＝6，解得 a＝7 4.] 4．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，则 g(x)的解析 式为( ) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x B [设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵g(1)＝1，g(－1)＝5， 且图像过原点， ∴ a＋b＋c＝1， a－b＋c＝5， c＝0， 解得 a＝3， b＝－2， c＝0， ∴g(x)＝3x2－2x.] 5．已知函数 f(x)＝ 2x，x≤1， log3x－1，x＞1， 且 f(x0)＝1，则 x0＝( ) A．0 B．4 C．0 或 4 D．1 或 3 C [当 x0≤1 时，由 f(x0)＝2x0＝1，得 x0＝0(满足 x0≤1)；当 x0＞1 时，由 f(x0) ＝log3(x0－1)＝1，得 x0－1＝3，则 x0＝4(满足 x0＞1)，故选 C.] 二、填空题 6．若函数 y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝f2x x－1 的定义域是________． [0,1) [由 0≤2x≤2，得 0≤x≤1，又 x－1≠0，即 x≠1，所以 0≤x＜1， 即 g(x)的定义域为[0,1)．] 7．设函数 f(x)＝ 1 x ，x＞1， －x－2，x≤1， 则 f(f(2))＝________，函数 f(x)的值域是 ________． －5 2 [－3，＋∞) [∵f(2)＝1 2 ，∴f(f(2))＝f 1 2 ＝－1 2 －2＝－5 2. 当 x＞1 时，f(x)∈(0,1)， 当 x≤1 时，f(x)∈[－3，＋∞)， ∴f(x)∈[－3，＋∞)．] 8．若 f(x)对任意 x∈R 恒有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则 f(1)＝________. 2 [由题意可知 2f1－f－1＝4， 2f－1－f1＝－2， 解得 f(1)＝2.] 三、解答题 9．设函数 f(x)＝ ax＋b，x＜0， 2x，x≥0， 且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出 f(x)的图像． [解] (1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)， 得 －2a＋b＝3， －a＋b＝2， 解得 a＝－1， b＝1， 所以 f(x)＝ －x＋1，x＜0， 2x，x≥0. (2)函数 f(x)的图像如图所示． 10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停 下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽 车的车速 x(km/h)满足下列关系：y＝ x2 200 ＋mx＋n(m，n 是常数)．如图是根据多次 实验数据绘制的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)的关系图． (1)求出 y 关于 x 的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过 25.2 m，求行驶的最大速度． [解] (1)由题意及函数图像， 得 402 200 ＋40m＋n＝8.4， 602 200 ＋60m＋n＝18.6， 解得 m＝ 1 100 ，n＝0，所以 y＝ x2 200 ＋ x 100(x≥0)． (2)令 x2 200 ＋ x 100 ≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是 70 km/h. 1．设函数 f(x)＝ 2x＋n，x＜1， log2x，x≥1， 若 f f 3 4 ＝2，则实数 n 的值为( ) A．－5 4 B．－1 3 C．1 4 D．5 2 D [因为 f 3 4 ＝2×3 4 ＋n＝3 2 ＋n， 当3 2 ＋n＜1，即 n＜－1 2 时，f f 3 4 ＝2 3 2 ＋n ＋n＝2，解得 n＝－1 3 ，不符合题 意； 当3 2 ＋n≥1，即 n≥－1 2 时， f f 3 4 ＝log2 3 2 ＋n ＝2，即3 2 ＋n＝4， 解得 n＝5 2 ，符合题意，故选 D.] 2．已知函数 f(x)＝ x2＋x，x≥0， －3x，x＜0， 若 a[f(a)－f(－a)]＞0，则实数 a 的取值 范围为( ) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D [当 a＞0 时，不等式 a[f(a)－f(－a)]＞0 化为 a2＋a－3a＞0， 解得 a＞2. 当 a＜0 时，不等式 a[f(a)－f(－a)]＞0 化为－a2－2a＜0， 解得 a＜－2. 综上可得实数 a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．] 3．设函数 f(x)＝ x－a2－1，x≤1， ln x，x＞1， 若 f(x)≥f(1)恒成立，则实数 a 的取值 范围为( ) A．[1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) A [若 f(x)≥f(1)恒成立，则 f(1)是 f(x)的最小值，则当 x≤1 时，f(x)≥f(1)恒 成立，又函数 y＝(x－a)2－1 的图像的对称轴为直线 x＝a，所以 a≥1.由分段函数 性质得(1－a)2－1≤ln 1，得 0≤a≤2.综上可得，实数 a 的取值范围为 1≤a≤2， 故选 A.] 4．(2019·平顶山模拟)已知具有性质：f 1 x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒 负”变换的函数，下列函数： ①f(x)＝x－1 x ；②f(x)＝x＋1 x ； ③f(x)＝ x，0＜x＜1， 0，x＝1， －1 x ，x＞1. 其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) ①③ [对于①，f(x)＝x－1 x ，f 1 x ＝1 x －x＝－f(x)，满足题意；对于②，f 1 x ＝ 1 x ＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f 1 x ＝ 1 x ，0＜1 x ＜1， 0，1 x ＝1， －x，1 x ＞1， 即 f 1 x ＝ 1 x ，x＞1， 0，x＝1， －x，0＜x＜1， 故 f 1 x ＝－f(x)，满足题意． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.] 1．设 f(x)＝ x，0＜x＜1， 2x－1，x≥1. 若 f(a)＝f(a＋1)，则 f 1 a ＝( ) A．2 B．4 C．6 D．8 C [当 0＜a＜1 时，a＋1＞1，f(a)＝ a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)，∴ a＝2a， 解得 a＝1 4 或 a＝0(舍去)． ∴f 1 a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 当 a≥1 时，a＋1≥2， ∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解． 综上，f 1 a ＝6.] 2．已知 x 为实数，用[x]表示不超过 x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2] ＝－2，[1]＝1.对于函数 f(x)，若存在 m∈R 且 m∉Z，使得 f(m)＝f([m])，则称函 数 f(x)是Ω函数． (1)判断函数 f(x)＝x2－1 3x，g(x)＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)； (2)已知 f(x)＝x＋a x ，请写出 a 的一个值，使得 f(x)为Ω函数，并给出证明． [解] (1)f(x)＝x2－1 3x 是Ω函数，g(x)＝sin πx 不是Ω函数． (2)法一：取 k＝1，a＝3 2 ∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝a 1 ＝3 2 ，此时 f 3 2 ＝f 3 2 ＝ f(1)， 所以 f(x)是Ω函数． 证明：设 k∈N＋，取 a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝a k ，则一定有 m－[m]＝ a k －k＝a－k2 k ∈(0,1)，且 f(m)＝f([m])，所以 f(x)是Ω函数． 法二：取 k＝1，a＝1 2 ∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－1 2 ，此时 f －1 2 ＝f －1 2 ＝f(－1)， 所以 f(x)是Ω函数． 证明：设 k∈N＋，取 a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－a k ，则一定有 m－[m] ＝－a k －(－k)＝k2－a k ∈(0,1)，且 f(m)＝f([m])，所以 f(x)是Ω函数．