【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第8讲　第2课时　圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题作业 5页

第2课时　圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·河南新乡模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为(　　)‎ A. B．1 ‎ C. D．2‎ 解析：选C.设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，)，F2(0，－)，所以|F1F2|＝2，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以x＋y＝2.由，得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝|F1F2|·|x0|＝×2×1＝，故选C.‎ ‎2．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)‎ A．(－3，0) B．(0，－3) ‎ C．(3，0) D．(0，3)‎ 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．‎ ‎3．(2020·安徽合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为 ．‎ 解析：由e2＝1－＝，得＝.设M(x，y)，A(m，n)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝，①‎ 把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－＝－.‎ 答案：－ ‎4．以下四个关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设A，B为两个定点，K为正数，若||PA|－|PB||＝K，则动点P的轨迹是双曲线；‎ ‎②方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎③双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点；‎ ‎④已知抛物线y2＝2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切．‎ 其中真命题为 ．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：A，B为两个定点，K为正数，||PA|－|PB||＝K，当K＝|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误；‎ 方程2x2－5x＋2＝0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；‎ 双曲线－＝1的焦点坐标为(±，0)，椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±，0)，故③正确；‎ 设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A，B，P在准线l上的射影分别为M，N，Q，‎ 因为AP＋BP＝AM＋BN，所以PQ＝AB，‎ 所以以AB为直径作圆，则此圆与准线l相切，故④正确．‎ 故正确的命题有②③④.‎ 答案：②③④‎ ‎5．(2020·福建五校第二次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．‎ 解：(1)由题意可得，解得 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k<0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立 得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 因为kMA＋kMB＝＋ ‎＝，‎ 所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．‎ ‎6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎(1)证明：直线AB过定点；‎ ‎(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．‎ 解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.‎ 由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.‎ 整理得2tx1－2y1＋1＝0.‎ 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.‎ 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.‎ 设M为线段AB的中点，则M.‎ 由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.‎ 解得t＝0或t＝±1.‎ 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋＝4；‎ 当t＝±1时，||＝，所求圆的方程为x2＋＝2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·赣州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切．‎ ‎(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等，‎ 由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.‎ 所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2＝4x.‎ 法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得＝|x＋1|，‎ 化简得y2＝4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程．‎ ‎(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件．‎ 由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN＋kQN＝0.①‎ 易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2，‎ 由得y2－4my＋8＝0.‎ 由Δ＝(－4m)2－4×8>0，得m>或m<－.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 由①得kPN＋kQN＝＋ ‎＝＝0，‎ 所以y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0即，y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0.‎ 消去x1，x2，得y1y＋y2y－x0(y1＋y2)＝0，‎ 即y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0.‎ 因为y1＋y2≠0，所以x0＝y1y2＝2，‎ 所以存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π.‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，‎ 能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，‎ 因为A在椭圆C上，‎ 所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，‎ 所以a＝，b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)不存在满足条件的直线，证明如下：‎ 设直线的方程为y＝2x＋t，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，‎ 由消去x，‎ 得9y2－2ty＋t2－8＝0，‎ 所以y1＋y2＝，Δ＝4t2－36(t2－8)>0，‎ 所以y0＝＝，且－3