【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第四章　第6讲　第2课时　正、余弦定理的综合问题作业 5页

第6讲　第2课时　正、余弦定理的综合问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B. C．9 D． 解析：选B.因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B.‎ ‎2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)‎ A．2 B. C．2 D．2 解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.‎ ‎3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　)‎ A．3＋3 B．2 C．3＋2 D．3＋ 解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a，‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝，‎ 又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.‎ ‎4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝(　　)‎ A．1 B. C. D． 解析：选A.因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A.‎ 所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cos A＝.‎ 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.‎ ‎5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC 的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)‎ A．10 B．12‎ C．8＋ D．8＋2 解析：选B.因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.‎ ‎6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为 ．‎ 解析：因为b2sin C＝4sin B，‎ 所以b2c＝4b，所以bc＝4，‎ S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝ ，△ABC的面积等于 ．‎ 解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2，‎ 所以S△ABC＝×2×2＝2.‎ 答案：　2 ‎8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为 ．‎ 解析：由＝⇒＝⇒a＝c，①‎ 由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②‎ 联立①，②得a＝5，且c＝2.‎ 由sin B＝且B为锐角知cos B＝，‎ 由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.‎ 答案： ‎9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.‎ ‎(1)求sin C的值；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的面积．‎ 解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，‎ 所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.‎ ‎(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，‎ 解得b＝8或b＝－5(舍)．‎ 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.‎ ‎10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，‎ 从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，‎ 即sin B＝2sin Bcos A.‎ 又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，‎ 又A为三角形的内角，所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，‎ 所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝(　　)‎ A. B. C. D．2 解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．‎ 解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.‎ 答案：3‎ ‎3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．‎ 解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，‎ 所以tan B＝.‎ 又0＜B＜π，所以B＝.‎ ‎(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.‎ 由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.‎ 所以cos A＝＝＝－.‎ 因为D是AC的中点，所以AD＝.‎ 所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.‎ 所以BD＝.‎ ‎4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15.‎ ‎(1)求sin C；‎ ‎(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求·的最大值．‎ 解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时·取得最大值，‎ 设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，‎ 故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25，‎ 解得mn≤，‎ 故·＝mn≤×＝50，‎ 当且仅当m＝n＝时，等号成立，‎ 故·的最大值为50.‎