高考数学一轮复习核心素养测评七十选修4-52证明不等式的基本方法文含解析北师大版 4页

核心素养测评七十　证明不等式的基本方法 ‎(20分钟　40分)‎ ‎1.(10分)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.‎ ‎【证明】因为a>0,b>0,a+b=2,‎ 所以+-1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎=.‎ 因为a+b=2≥2,所以ab≤1.‎ 所以≥0.‎ 所以+≥1.‎ ‎2.(10分)(2020·桂林模拟)已知正数a,b满足+=1.‎ ‎(1)证明:≤ab.‎ ‎(2)若存在实数x,使得-=a+b,求a,b.‎ ‎【解析】(1)因为‎4a+b=(‎4a+b)‎ ‎=4+++‎ ‎≥4+2+=,≤1,‎ 又1=+≥2⇒ab≥1,‎ 所以≤ab.‎ ‎(2)因为|x+2|-|x-|≤|(x+2)-(x-)|=,‎ 当且仅当,即x≥时,等号成立;‎ 又a+b=(a+b)=1+++‎ ‎≥1++2=,‎ 当且仅当=即a=2b时,等号成立,‎ 所以⇒a=,b=.‎ ‎3.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+.‎ ‎(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.‎ ‎【证明】(1)因为a,b,c,d为正数,且a+b=c+d,‎ 欲证+>+,只需证明(+)2>(+)2,也就是证明a+b+2>c+d+2,‎ 只需证明>,即证ab>cd.‎ 由于ab>cd成立,因此+>+.‎ ‎(2)①若|a-b|<|c-d|,‎ 则(a-b)2<(c-d)2,‎ 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.‎ 因为a+b=c+d,所以ab>cd.‎ 由(1)得+>+.‎ ‎②若+>+,‎ 则(+)2>(+)2,‎ 所以a+b+2>c+d+2.‎ 因为a+b=c+d,所以ab>cd.‎ 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd ‎=(c-d)2.‎ 因此|a-b|<|c-d|.‎ 综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.‎ ‎4.(10分)设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M. 世纪金榜导学号 ‎(1)求M.‎ ‎(2)当x∈M时,求证:x[f(x)]2-x‎2f(x)≤0.‎ ‎【解析】(1)由已知,得f(x)=‎ 当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,‎ 解得x≤0,此时x≤0;‎ 当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,‎ 解得x≤,显然不成立.‎ 故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.‎ ‎(2)当x∈M时,f(x)=x-1,‎ 于是x[f(x)]2-x‎2f(x)‎ ‎=x(x-1)2-x2(x-1)‎ ‎=-x2+x ‎=-+.‎ 令g(x)=-+,‎ 则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,‎ 所以g(x)≤g(0)=0.‎ 故x[f(x)]2-x‎2f(x)≤0.‎