朝阳2019-2020一模数学 4页

北京市朝阳区高三年级高考练习一 数学2020.4‎ ‎（考试时间120分钟满分150分）‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）在等比数列中，，，则的前项和为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（4）如图，在中，点，满足，．若，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（第4题图）‎ ‎（D）‎ ‎（5）已知抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 4‎ ‎（7）在中，，．若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（8）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（9）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎（10）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是 ‎（A）线段的三等分点，且靠近点 ‎（B）线段的中点 ‎（C）线段的三等分点，且靠近点 ‎（第10题图）‎ ‎（D）线段的四等分点，且靠近点 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎11若复数，则________． ‎ ‎12已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为．‎ 俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 4‎ ‎（第12题图）‎ ‎13某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．‎ 为了使中签率超过，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．‎ ‎14已知函数．数列满足（），则数列的前项和是________．‎ ‎15数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：‎ ‎① 曲线关于直线对称；② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，‎（第15题图）‎ 使得曲线在此正方形区域内（含边界）．‎ 其中，正确结论的序号是________．‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16（本小题14分）在中，．‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，．求.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎17（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，点，分别是棱，的中点，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若点在棱上，且，判断平面 与平面是否平行，并说明理由．‎ 4‎ ‎18（本小题14分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：‎ 患者的检测结果 人数 阳性 阴性 非患者的检测结果 人数 阳性 阴性 ‎（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；‎ ‎（Ⅱ）从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）假设该地区有万人，患病率为.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由.‎ ‎19（本小题14分）已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.‎ ‎20（本小题15分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）判断函数的零点的个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．‎ ‎21（本小题14分）设数列（）的各项均为正整数，且．若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质．‎ ‎（Ⅰ）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）‎ ‎（Ⅱ）若数列具有性质，且，，，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若集合，且（任意，）．求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列．‎ 4‎