【数学】2020届一轮复习北师大版概率与统计作业 6页

概率与 统计 ‎[基础保分练]‎ ‎1．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．‎ ‎(1)求甲、乙都在三到四小时内还车的概率和甲、乙两人所付租车费相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)．‎ ‎2．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二年级学生和15名高一年级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用．问：‎ ‎(1)应从该兴趣小组中抽取高一年级和高二年级的学生各多少人；‎ ‎(2)已知该地区有X，Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二年级学生都租X型车，高一年级学生都租Y型车．‎ ‎①如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X型车的概率；‎ ‎②已知该地区X型车每小时的租金为1元，Y型车每小时的租金为1.2元，设ξ为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求ξ的均值．‎ ‎3．汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ ‎(1)求z的值；‎ ‎(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎4．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ 答案精析 ‎1．解　(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.‎ 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，‎ 则P(A)＝×＋×＋×＝.‎ 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.‎ ‎(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.‎ P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，‎ P(ξ＝6)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝8)＝×＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.‎ ‎2．解　(1)依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为×7＝3，‎ 高二学生的人数为×7＝4.‎ ‎(2)①方法一　所求的概率P＝＝.‎ 方法二　所求概率P＝1－＝.‎ ‎②从小组内随机抽取3人，得到的ξ的可能取值为3，3.2，3.4,3.6.‎ 因为P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝3.2)＝＝，‎ P(ξ＝3.4)＝＝，P(ξ＝3.6)＝＝，‎ 故ξ的均值E(ξ)＝3×＋3.2×＋3.4×＋3.6×＝3.‎ ‎3．解　(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，∴n＝2 000，‎ ‎∴z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.‎ ‎(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a＝2，‎ 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．‎ 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故P(E)＝，即所求概率为.‎ ‎(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9，设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有9.4，8.6，9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，∴P(D)＝＝，即所求概率为.‎ ‎4．解　(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.‎ ‎(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.‎ 又P(AB)＝P(B)，‎ 故P(B|A)＝＝＝＝，‎ 因此所求概率为.‎ ‎(3)该续保人本年度的保费为X，则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.‎ 因此续保人本年度平均保费与基本保费的比值为1.23.‎