高考数学解题方法攻略数列求通项理 13页

常见递推数列通项的求解方法 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点 之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式， 为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。 类型一： 1 ( )n na a f n   （  f n 可以求和） 解决方法 累加法 例 1、在数列 na 中，已知 1a =1，当 2n  时，有 1 2 1n na a n    2n  ，求数列的通 项公式。 解析： 1 2 1( 2)n na a n n     2 1 3 2 4 3 1 1 3 5 2 1n n a a a a a a a a n              上述 1n 个等式相加可得： 2 1 1na a n   2 na n  评注：一般情况下，累加法里只有 n-1 个等式相加。 类型一专项练习题： 1、已知 1 1a  ， 1n na a n  （ 2n ），求 na 。 ( 1 2n n na   ） 2、已知数列 na ， 1a =2， 1na  = na +3n +2，求 na 。 (3 1) 2n n na   3、已知数列 }a{ n 满足 1a1n2aa 1n1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 2 1na n  4、已知 }{ na 中， n nn aaa 2,3 11   ，求 na 。 2 1n na   5、已知 1 1 2 a  , 1 1 2 n n na a        *( )n N ,求数列 na 通项公式. 13 1 2 2 n na         6、 已知数列 na 满足 1 1,a   1 13 2 ,n n na a n    求通项公式 na ？（ 3 1 2 n na   ） 7、若数列的递推公式为 1 * 1 13, 2 3 ( )n n na a a n N      ，则求这个数列的通项公式 112 3nna   8、 已知数列 }a{ n 满足 3a132aa 1 n n1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 3 1n na n   9、已知数列 na 满足 2 1 1 a ， nn aa nn   21 1 ，求 na 。 3 1 2na n   10、数列 na 中， 1 2a  ， 1n na a cn   （ c是常数， 1 2 3n  ，，， ），且 1 2 3a a a， ， 成公比 不为1的等比数列． （I）求 c的值； c=2 （II）求 na 的通项公式． 2 2na n n   11、设平面内有 n 条直线 ( 3)n≥ ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一 点．若用 ( )f n 表示这 n条直线交点的个数，则 (4)f  5 ； 当 4n  时， ( )f n  2 2 2 n n  （用 n表示）． 类型二： 1 ( )n na f n a   （ ( )f n 可以求积） 解决方法 累积法 例 1、在数列 na 中，已知 1 1,a  有  1 1n nna n a   ，( 2n  )求数列 na 的通项公式。 解析： 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 n n n n n n n a a a a aa a a a a a a           1 2 3 2 1 1 1 4 3 n n n n n n           2 1n   又 1a 也满足上式； 2 1na n    *( )n N 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。 类型二专项练习题： 1、已知 1 1a  ， 1 1 1n n na a n     ( 2n  )，求 na 。 2 2 na n n   2、已知数列 na 满足 3 2 1 a ， nn a n na 11   ，求 na 。 2 3na n  3、已知 }{ na 中， 1 2n n na a n   ，且 1 2a  ，求数列 }{ na 的通项公式.   4 1na n n    4、已知 31 a ， nn a n na 23 13 1    )1( n ，求 na 。 6 3 1na n   5、已知 1 1a  , 1( )n n na n a a  *( )n N ,求数列 na 通项公式. na n 6、已知数列 na 满足 1 1,a  1 2nn na a  ，求通项公式 na ？ （ 2 22 n n na   ） 7、已知数列 }a{ n 满足 3aa5)1n(2a 1n n 1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 2 1 23 ! 2 5 n n n na n      8、已知数列{an}，满足 a1=1， 1321 )1(32  nn anaaaa (n≥2)，则{an}的通项 1 ! 2 na n     1 2 n n   9、设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n + 1)a 2 1n - na 2 n +an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …)， 求它的通项公式. 1 na n  10、数列 }{ na 的前 n项和为 nS ，且 11 a ， nS ＝ *)(2 Nnan n  ，求数列 }{ na 的通项公式. 2 2 na n n   类型三： 1 (n na Aa B   其中A,B为常数A 0,1）解决方法 待定常数法 可将其转化为 1 ( )n na t A a t    ，其中 1 Bt A   ，则数列 na t 为公比等于 A 的等 比数列，然后求 na 即可。 例 1 在数列 na 中， 1 1a  ，当 2n  时，有 13 2n na a   ，求数列 na 的通项公式。 解析：设  13n na t a t   ，则 13 2n na a t  1t  ，于是  11 3 1n na a     1na  是以 1 1 2a   为首项，以 3 为公比的等比数列。 12 3 1n na     类型三专项练习题： 1、 在数列 na 中， 1 1a  ， 1 2 3n na a   ，求数列 na 的通项公式。 ( 3 2)n na   2、若数列的递推公式为 * 1 11, 2 2( )n na a a n    ，则求这个数列的通项公式 12 2nna   3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n = 2 1 a 1n + 1 ( 2)n  求通项 a n ． 12 2 n na   4、在数列{ }na (不是常数数列)中, 1 1 2 2n na a   且 1 1 3 a  ,求数列{ }na 的通项公式. 1114 2 3 n na    5、在数列{an}中， ,13,1 11   nn aaa 求 na . 11 3 2 n na   6、已知数列 na 满足 * 1 11, 2 1( ).n na a a n N    求数列 na 的通项公式. 2 1n na   7、设二次方程 na x 2 - 1.＋na x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足 6α-2αβ+6β=3． (1)试用 na 表示 a 1n ； 1 1 1 2 3n na a   （2）求证：数列 2 3na      是等比数列； （3）当 1 7 6 a  时，求数列 na 的通项公式 2 1 3 2 n na        8、在数列 na 中， nS 为其前 n项和，若 1 3 2 a  ， 2 2a  ，并且 1 13 2 1 0( 2)n n nS S S n     ≥ ， 试判断 1 ( )na n  N 是不是等比数列？ 是 类型四：  1 1 0n n nAa Ba Ca      ；其中A,B,C为常数，且A B C 0 可将其转化为     1 1 2n n n nA a a a a n       -----（*）的形式，列出方程组 A B C            ,解出 , ;  还原到（*）式，则数列 1n na a  是以 2 1a a 为首项， A  为 公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出 na 。 例 1 在数列 na 中， 1 2a  ， 2 4a  ，且 1 13 2n n na a a    2n  求数列 na 的通项公 式。 解析：令 1 1( ), ( 2)n n n na a a a n       得方程组 3 2           解得 1, 2;      1 12 2n n n na a a a n      则数列 1n na a  是以 2 1a a 为首项，以 2为公比的等比数列 1 1 2 2 2n n n na a       2 1 2 3 2 3 4 3 1 1 2 2 2 2nn n a a a a a a a a               1 1 2(1 2 ) 2 2 1 2 n n na a         *2nna n N   评注：在  1 1 0n n nAa Ba Ca      ；其中A,B,C为常数，且A B C 0 中，若 A+B+C=0, 则一定可以构造 1n na a  为等比数列。 例 2 已知 1 2a  、 2 3a  , 1 16n n na a a   ( 2)n  ,求 na 解析：令    1 1 2n n n na a a a n       ，整理得  1 1n n na a a      1 6         3, 2      1 1 1 2 13 3 2 9 2n n n na a a a          ； 两边同除以 12n 得， 1 1 3 9 2 2 2 4 n n n n a a    ， 令 2 n nn a b ， 1 3 9 2 4n nb b   令  1 3 2n nb t b t     ，得 1 3 5 2 2n nb b t    5 9 , 2 4 t  9 10 t   1 9 3 9 10 2 10n nb b          ， 故 9 10nb      是以 1 1 9 9 1 10 2 10 10 ab     为首项， 3 2  为公比的等比数列。  19 1 3 10 10 2 n nb         ， 19 1 3 10 10 2 n nb         即 19 1 3 10 10 22 n n na         ，得   19 12 3 10 5 nn na     类型四专项练习题： 1、已知数列 na 中， 11 a , 22 a , nnn aaa 3 1 3 2 12   ，求 na 。 13 11 1 4 3 n na             2、 已知 a1=1，a2= 5 3 ， 2na  = 5 3 1na  - 2 3 na ,求数列｛ na ｝的通项公式 na . 23 3 3 n na        3、已知数列 na 中， nS 是其前n项和，并且 1 14 2( 1,2, ), 1n nS a n a     ， ⑴设数列 ),2,1(21   naab nnn ，求证：数列 nb 是等比数列； ⑵设数列 ),2,1(, 2  nac n n n ，求证：数列 nc 是等差数列； ⑶求数列 na 的通项公式及前 n项和。 1 22 3( 1) 2 ;n n na n     3 1) 2 2n ns n   （ 4、数列 na ： 2 13 5 2 0( 1, )n n na a a n n N      ， baaa  21 , ，求数列 na 的 通项公式。 123 2 3( ) 3 n na b a a b           类型五： 1 ( )n na pa f n   （ 0p  且 1p  ） 一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。 例 1 设在数列 na 中， 1 1a  ，  1 1 2 1 2 2n na a n n    求数列 na 的通项公式。 解析：设 n nb a An b    1 1 1 2n na An B a A n B         展开后比较得 2 0 42 61 0 2 2 A A A B B             这时  1 1 4 6 2n n n nb b a n    n 2 且b  nb 是以 3为首项，以 1 2 为公比的等比数列 113 2 n nb         即 113 4 6 2 n na n          ， 113 4 6 2 n na n           例 2 在数列 na 中， 1 2a  ，  1 12 2 2n n na a n    求数列 na 的通项公式。 解析：  1 12 2 2n n na a n    1 12 2nn na a     ，两边同除以 2n得 1 1 2 2 2 n n n n a a    2 n n a     是以 1 2 a =1 为首项，2 为公差 的等差数列。  1 1 2 2 1 2 n n a n n       即  2 2 1n na n  例 3 在数列 na 中， 1 5a  ，  *12 2 1 2,n n na a n n N     求数列 na 的通项公 式。 解析：在 12 2 1n n na a    中，先取掉 2n，得 12 1n na a   令  12n na a    ，得 1   ，即 11 2( 1)n na a    ； 然后再加上 2n 得    11 2 1 2nn na a     ；    11 2 1 2nn na a     两边同除以 2n ，得 1 1 1 1 1; 2 2 n n n n a a        1 2 n n a       是以 1 1 2 2 a   为首项，1 为公差的等差数列。  1 2 1 1 2 n n a n n       ，  2 1 1n na n    评注：若 ( )f n 中含有常数，则先待定常数。然后加上 n 的其它式子，再构造或待定。 例 4 已知数列 }a{ n 满足 1a425a3a 1 n n1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 解析：在 1 3 5 2 4n n na a     中取掉5 2n 待定 令  1 3n na t a t    ，则 1 3 2n na a t   2 4t  ， 2t  ；  1 2 3 2 ,n na a    再加上5 2n 得，  1 2 3 2 5 2nn na a      ，整理得： 1 1 2 23 5 2 2 2 2 n n n n a a      ， 令 2 2 n nn a b  ，则 1 3 5 2 2n nb b   令  1 3 , 2n nb t b t    1 3 2 2n n tb b   ； 5 , 5; 2 2 t t   即  1 35 5 2n nb b    ；数列 5nb  是以 1 1 2 135 5 2 2 ab      为首项， 3 2 为公比的等 比数列。 113 35 2 2 n nb          ，即 12 13 35 2 2 2 n n n a         ；整理得 113 3 5 2 2n n na      类型 5 专项练习题： 1、设数列 na 的前 n 项和  1 *4 1 22 1, 3 3 3 n n nS a n n N     ，求数列 na 的通项公式。  4 2n n na   2、已知数列 na 中， 1 1 , 2 a  点  1, 2 n nn a a  在直线 y x 上，其中 1,2,3 .n   （1） 令 1 1,n n nb a a   求证：数列 nb 是等比数列； （2） 求数列 na 的通项 ； 3 2 2n na n       3、已知 1 2a  ， 1 1 4 2nn na a     ，求 na 。 4 2n n na   4、设数列 na ： )2(,123,4 11   nnaaa nn ，求 na . 14 3 1n na n    5、已知数列 }{ na 满足 1 12, 2 (2 1)n na a a n    ，求通项 na 15 2 2 1n na n    6、在数列{ }an 中，a a a nn n1 1 3 2 2 6 3   ， ，求通项公式 an。 9 2n na  7、已知数列 na 中， 6 5 1 a , 1 1 ) 2 1( 3 1    n nn aa ，求 na 。 22 3 n na        8、已知数列｛a n ｝，a 1=1, n∈N  ，a 1n = 2a n ＋3 n ,求通项公式 a n ． 3 2n n na   9、已知数列 }a{ n 满足 3a132a3a 1 n n1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 5 1(2 ) 3 6 2 n na n    10、若数列的递推公式为 1 1 11, 3 2 3 ( )n n na a a n      ，则求这个数列的通项公式 73 ( 2 ) 3 n na n  11、已知数列 na 满足 1 1 11, 3 2nn na a a     ,求 na . 1 15 3 2n n na     12、 已知数列 }a{ n 满足 n n1n 23a2a  ， 2a1  ，求数列 }a{ n 的通项公式。 1(3 1) 2nna n    13、已知数列 }a{ n 满足 6a53a2a 1 n n1n  ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 15 2n n na   14、 已知 1 1a  ， 1 1 2nn na a     ，求 na 。 2 1 3 n na   15、 已知{ }na 中， 1 1a  ， 12 2 ( 2)n n na a n  … ，求 na . 12 2 n na n      16、已知数列 na 中， nS 是其前 n项和，并且 1 14 2( 1,2, ), 1n nS a n a     ， ⑴设数列 ),2,1(21   naab nnn ，求证：数列 nb 是等比数列； ⑵设数列 ),2,1(, 2  nac n n n ，求证：数列 nc 是等差数列； ⑶求数列 na 的通项公式及前 n项和。 1 22 3( 1) 2 ;n n na n     3 1) 2 2n ns n   （ 类型六： 1 n n n c aa pa d    （ 0c p d   ）  解决方法 倒数法 例 1 已知 1 4a  ， 1 2 2 1 n n n aa a    ，求 na 。 解析：两边取倒数得： 1 1 1 1 2n na a   ，设 1 ,n n b a  则 1 1 1 2n nb b   ； 令 1 1 ( ) 2n nb t b t    ；展开后得， 2t   ； 1 2 1 2 2 n n b b      ；  2nb  是以 1 1 1 72 2 4 b a      为首项， 1 2 为公比的等比数列。 17 12 4 2 n nb             ；即 11 7 12 4 2 n na            ，得 1 2 2 2 7 n n na    ； 评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。 类型六专项练习题： 1、若数列的递推公式为 1 1 1 13, 2( ) n n a n a a     ，则求这个数列的通项公式。 3 7 6na n   2、已知数列{ na }满足 2,11  na 时， nnnn aaaa 11 2   ，求通项公式 na 。 1 2 1na n   3、已知数列｛an｝满足： 1, 13 1 1 1      a a aa n n n ，求数列｛an｝的通项公式。 1 3 2na n   4、设数列 }{ na 满足 ,21 a 1 , 3 n n n aa a   求 .na 1 2 2 3 1n na    5、已知数列{ na }满足 a1=1， 63 3 1   n n n a aa ，求 na 1 2 1n na   6、 在数列{ }na 中， 1 1 32, 3 n n n aa a a   ，求数列{ }na 的通项公式. 6 2 1na n   7、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1n = 2 2 n n a a n∈N ，求通项 a n ． 2 1na n   类型七： ( )n nS f a   解决方法 1 1 ( 1) ( 2)n n n s n a s s n      例 1 已知数列 na 前 n 项和 22 14  nnn aS .  1 求 1na 与 na 的关系； （2）求通项公式 na . 解析：  1 1 1n  时， 1 1 14 2a s a    ，得 1 1a  ； 2 2n  时， 1 12 3 1 14 4 2 2n n n n nn na s s a a          ； 得 1 1 1 2 2n n na a   。 （2）在上式中两边同乘以 12n 得 1 12 2 2n n n na a    ；  2n na数列 是以 1 12 2a  为首项，2 为公差的等差数列； 2 2 2 2 2n na n n     ；得 12n n na  。 类型七专项练习题： 1、数列{an}的前 N项和为 Sn，a1=1，an+1=2Sn *( )n N .求数列{an}的通项 an。 13nna  2、已知在正整数数列{ }na 中，前n项和 nS 满足 21 ( 2) 8n nS a  ，求数列{ }na 的通项公式. 4 2na n  3、已知数列{an}的前 n项和为 Sn = 3 n – 2, 求数列{an}的通项公式. 1 1 ( 1) 2 3 ( 2)n n n a n      4、设正整数{an}的前 n项和 Sn = 2)1( 4 1 na ，求数列{an}的通项公式. 13nna  5、如果数列{an}的前 n项的和 Sn = 3 2 3 na , 那么这个数列的通项公式是 an = 2·3n 6、已知无穷数列 na 的前 n项和为 nS ，并且 *1( )n na S n N   ，求 na 的通项公式？ 2 n na  类型八：周期型 例 1、若数列 na 满足          )1 2 1(,12 ) 2 10(,2 1 nn nn n aa aa a ，若 7 6 1 a ，则 20a 的值为___________。 解析：根据数列 na 的递推关系得它的前几项依次为： 6 5 3 6 5 3 6 7 7 7 7 7 7 7 ，，，，，， ；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期； 20 2 5 7 a a   . 评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周 期性，问题就迎刃而解。 类型八专项练习题： 1、已知数列 }{ na 满足 )( 13 3 ,0 * 11 Nn a a aa n n n      ，则 20a = （ B ） A．0 B． 3 C． 3 D． 2 3 2、在数列 }{ na 中， .19981221 ,,5,1 aaaaaa nnn 求  -4 类型九、利用数学归纳法求通项公式 例 1 已知数列 }a{ n 满足 9 8a )3n2()1n2( )1n(8aa 122n1n     ， ，求数列 }a{ n 的通项公式。 2 2 (2 1) 1 (2 1)n na n     解析：根据递推关系和 1 8 9 a  得， 2 3 24 48, , 25 49 a a   所以猜测 2 2 (2 1) 1 (2 1)n na n     ，下面用数学归纳法证明它； 1 1n  时成立（已证明） 2 假设 n k ( 2)k  时，命题成立，即 2 2 (2 1) 1 (2 1)k ka k     ， 则 1n k  时， 1 2 2 8( 1) (2 1) (2 3)k k ka a k k      =       2 2 22 8 1(2 1) 1 (2 1) 2 1 2 3 kk k k k       =     4 3 2 2 2 16 64 84 44 8 2 1 2 3 k k k k k k                   2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 k k k k k k                。  1n k  时命题成立； 由 1 2 可知命题对所有的 *n N 均成立。 评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。 类型九专项练习题： 1. 设数列 na 满足： 12 1  nnn naaa ，且 21 a ，则 na 的一个通项公式为 1 nan ， 2、已知 na 是由非负整数组成的数列，满足 01 a ， 32 a ， )2)(2( 211   nnnn aaaa （n=3，4，5…）。 （1）求 3a ； 2 （2）证明 22  nn aa （n=3，4，5…）；(数学归纳法证明) （3）求 na 的通项公式及前 n 项的和。 1 ( 1 (n n n a n n     为奇数） 为偶数） ； 2 2 2 ( 2 ( 2 n n n n s n n n        为奇数） 为偶数） 3、已知数列 na 中 1a = 3 5 ， 1 2 1 n n n aa a   。 (1) 计算 2a ， 3 4,a a 。 3 3 3 11 17 23 ； ； (2) 猜想通项公式 na ，并且数学归纳法证明。 3 6 1na n   递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、 累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳 法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。